Номер 24.36, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.36. Зная, что $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -0,8$, $ < \beta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,
вычислите:

a) $\sin (\alpha - \beta)$;

б) $\cos (\alpha - \beta)$.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $sin \alpha$ и $cos \beta$. Мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + cos^2x = 1$ и данными о том, в каких координатных четвертях находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем $sin \alpha$.

По условию $cos \alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это значит, что угол $\alpha$ находится во II четверти, где значения синуса положительны.

Из основного тригонометрического тождества выразим $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Так как $\alpha$ находится во II четверти, $sin \alpha > 0$, следовательно:

$sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

2. Найдем $cos \beta$.

По условию $sin \beta = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это значит, что угол $\beta$ находится в III четверти, где значения косинуса отрицательны.

Из основного тригонометрического тождества выразим $cos \beta$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$

$cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

Так как $\beta$ находится в III четверти, $cos \beta < 0$, следовательно:

$cos \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений:

• $sin \alpha = \frac{3}{5}$
• $cos \alpha = -\frac{4}{5}$
• $sin \beta = -\frac{12}{13}$
• $cos \beta = -\frac{5}{13}$

а) Вычислим $sin(\alpha - \beta)$, используя формулу синуса разности углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

Подставим известные значения в формулу:

$sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) - (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{15 + 48}{65} = -\frac{63}{65}$

Ответ: $-\frac{63}{65}$

б) Вычислим $cos(\alpha - \beta)$, используя формулу косинуса разности углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Подставим известные значения в формулу:

$cos(\alpha - \beta) = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) + \frac{3}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = \frac{20 - 36}{65} = -\frac{16}{65}$

Ответ: $-\frac{16}{65}$