Номер 24.37, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

24.37. a) $ \sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x > \frac{1}{2}; $

б) $ \cos x \cos \frac{x}{2} + \sin x \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}; $

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3}; $

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) $ \sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x > \frac{1}{2} $

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ \sin(5x - 3x) > \frac{1}{2} $

$ \sin(2x) > \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin t > \frac{1}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = 2x $:

$ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \cos \frac{x}{2} + \sin x \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7} $

Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{x}{2} $:

$ \cos(x - \frac{x}{2}) < -\frac{2}{7} $

$ \cos(\frac{x}{2}) < -\frac{2}{7} $

Обозначим $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t < -\frac{2}{7} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:

$ \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n < \frac{x}{2} < 2\pi - \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n $

Умножим все части неравенства на 2:

$ 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n < x < 4\pi - 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n; 4\pi - 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < -\frac{1}{3} $

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = \frac{x}{4} $ и $ \beta = \frac{x}{2} $:

$ \sin(\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) < -\frac{1}{3} $

$ \sin(-\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3} $

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получим:

$ -\sin(\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3} $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \sin(\frac{x}{4}) > \frac{1}{3} $

Обозначим $ t = \frac{x}{4} $. Неравенство примет вид $ \sin t > \frac{1}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{4} $:

$ \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n $

Умножим все части неравенства на 4:

$ 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n < x < 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n; 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Перепишем левую часть в стандартном виде: $ \cos 5x \cos 2x + \sin 5x \sin 2x $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $:

$ \cos(5x - 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(3x) > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Обозначим $ t = 3x $. Неравенство примет вид $ \cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n < t < \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n $. Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $, получаем:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = 3x $:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 3:

$ -\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.