Номер 24.32, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.32. Зная, что $\sin \alpha = \frac{9}{41}$, $\sin \beta = -\frac{40}{41}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$,

найдите значение выражения:

a) $\sin (\alpha + \beta)$;

б) $\cos (\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $ \cos \alpha $ и $ \cos \beta $. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Нахождение $ \cos \alpha $

Дано, что $ \sin \alpha = \frac{9}{41} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \alpha $ находится в I четверти, где косинус положителен ($ \cos \alpha > 0 $).

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} $

Так как $ \cos \alpha > 0 $, то $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $.

2. Нахождение $ \cos \beta $

Дано, что $ \sin \beta = -\frac{40}{41} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $. Угол $ \beta $ находится в IV четверти, где косинус также положителен ($ \cos \beta > 0 $).

$ \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681} $

Так как $ \cos \beta > 0 $, то $ \cos \beta = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $.

Теперь мы можем вычислить значения заданных выражений.

а) Для нахождения $ \sin(\alpha + \beta) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Подставляем найденные и данные значения:

$ \sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{9}{41}\right) \cdot \left(\frac{9}{41}\right) + \left(\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81 - 1600}{1681} = -\frac{1519}{1681} $

Ответ: $ -\frac{1519}{1681} $

б) Для нахождения $ \cos(\alpha + \beta) $ используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

Подставляем найденные и данные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{40}{41}\right) \cdot \left(\frac{9}{41}\right) - \left(\frac{9}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{360}{1681} - \left(-\frac{360}{1681}\right) = \frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = \frac{720}{1681} $

Ответ: $ \frac{720}{1681} $