Номер 24.34, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.34. Зная, что $\cos t = \frac{3}{5}, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$, вычислите:

а) $\sin \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

г) $\cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$.

По условию известно, что $cos(t) = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти координатной окружности, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Найдем значение $sin(t)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$.

$sin^2(t) = 1 - cos^2(t) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как $t$ находится в IV четверти, $sin(t) < 0$, следовательно, $sin(t) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $sin(t - \frac{\pi}{6})$.

Используем формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

$sin(t - \frac{\pi}{6}) = sin(t)cos(\frac{\pi}{6}) - cos(t)sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим известные значения: $sin(t) = -\frac{4}{5}$, $cos(t) = \frac{3}{5}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$sin(t - \frac{\pi}{6}) = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б) Вычислим $sin(t - \frac{3\pi}{2})$.

Используем формулы приведения. Сначала воспользуемся нечетностью синуса: $sin(t - \frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2} - t)$.

Далее, по формуле приведения $sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -cos(t)$.

Следовательно, $sin(t - \frac{3\pi}{2}) = -(-cos(t)) = cos(t)$.

Подставляем известное значение $cos(t) = \frac{3}{5}$.

$sin(t - \frac{3\pi}{2}) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) Вычислим $cos(t - \frac{3\pi}{2})$.

Используем формулы приведения. Сначала воспользуемся четностью косинуса: $cos(t - \frac{3\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} - t)$.

Далее, по формуле приведения $cos(\frac{3\pi}{2} - t) = -sin(t)$.

Подставляем найденное значение $sin(t) = -\frac{4}{5}$.

$cos(t - \frac{3\pi}{2}) = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) Вычислим $cos(t - \frac{\pi}{6})$.

Используем формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(t - \frac{\pi}{6}) = cos(t)cos(\frac{\pi}{6}) + sin(t)sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим известные значения: $sin(t) = -\frac{4}{5}$, $cos(t) = \frac{3}{5}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$cos(t - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$.