Номер 24.41, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.41. Определите знак числа $a$:

a) $a = (\\cos 1 + \\cos 2)^2 + (\\sin 1 - \\sin 2)^2 - 2;$

б) $a = (\\sin 3 + \\cos 4)^2 + (\\cos 3 + \\sin 4)^2 - 1.$

а) $a = (\cos 1 + \cos 2)^2 + (\sin 1 - \sin 2)^2 - 2$

Для определения знака числа a, упростим данное выражение. Сначала раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a = (\cos^2 1 + 2 \cos 1 \cos 2 + \cos^2 2) + (\sin^2 1 - 2 \sin 1 \sin 2 + \sin^2 2) - 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$a = (\cos^2 1 + \sin^2 1) + (\cos^2 2 + \sin^2 2) + 2 \cos 1 \cos 2 - 2 \sin 1 \sin 2 - 2$

$a = 1 + 1 + 2(\cos 1 \cos 2 - \sin 1 \sin 2) - 2$

Теперь применим формулу косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

$a = 2 + 2\cos(1+2) - 2$

$a = 2 \cos 3$

Знак числа a зависит от знака $\cos 3$. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Определим, в какой четверти находится угол в 3 радиана. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$, тогда $\pi/2 \approx 1.57$.

Так как $\pi/2 < 3 < \pi$, угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак, следовательно, $\cos 3 < 0$.

Поскольку $a = 2 \cos 3$, а $\cos 3 < 0$, то и число a отрицательно.

Ответ: $a < 0$ (число отрицательное).

б) $a = (\sin 3 + \cos 4)^2 + (\cos 3 + \sin 4)^2 - 1$

Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы.

$a = (\sin^2 3 + 2 \sin 3 \cos 4 + \cos^2 4) + (\cos^2 3 + 2 \cos 3 \sin 4 + \sin^2 4) - 1$

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$a = (\sin^2 3 + \cos^2 3) + (\sin^2 4 + \cos^2 4) + 2 \sin 3 \cos 4 + 2 \cos 3 \sin 4 - 1$

$a = 1 + 1 + 2(\sin 3 \cos 4 + \cos 3 \sin 4) - 1$

Применим формулу синуса суммы двух углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

$a = 2 + 2\sin(3+4) - 1$

$a = 1 + 2 \sin 7$

Теперь определим знак числа a. Знак зависит от значения выражения $1 + 2 \sin 7$. Определим, в какой четверти находится угол в 7 радиан. Мы знаем, что $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$, а $5\pi/2 = 2.5\pi \approx 2.5 \times 3.14159 = 7.853975$.

Так как $2\pi < 7 < 5\pi/2$, угол в 7 радиан находится в первой координатной четверти. Синус в первой четверти имеет положительный знак, следовательно, $\sin 7 > 0$.

Поскольку $\sin 7 > 0$, то $2 \sin 7 > 0$. Сумма положительного числа $2 \sin 7$ и 1 также будет положительной.

$a = 1 + 2 \sin 7 > 1 + 0 = 1$.

Следовательно, число a положительно.

Ответ: $a > 0$ (число положительное).