Номер 24.46, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.46. Докажите, что не существует пары (x; y) такой, что:

а) $ \sin x \cos y = 0,7 $; $ \cos x \sin y = 0,4 $

б) $ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3} $; $ \sin x \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

а) Докажем методом от противного. Предположим, что такая пара $(x; y)$ существует, для которой выполняются данные равенства. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы двух углов: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Подставим в эту формулу значения из условия задачи:
$\sin(x + y) = 0,7 + 0,4 = 1,1$.
Однако, область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $z$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin z \le 1$.
Поскольку мы получили значение $\sin(x + y) = 1,1$, которое больше 1, мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: не существует такой пары $(x; y)$.

б) Докажем методом от противного. Предположим, что такая пара $(x; y)$ существует, для которой выполняются данные равенства. Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Подставим в эту формулу значения из условия задачи:
$\cos(x + y) = \frac{\sqrt{6}}{3} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\cos(x + y) = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6}$.
Проверим, не превышает ли это значение 1. Для этого сравним числитель $2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$ и знаменатель $6$. Поскольку обе части выражения $2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} > 6$ положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(2\sqrt{6} + 3\sqrt{2})^2 > 6^2$
$(2\sqrt{6})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{6}) \cdot (3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 > 36$
$4 \cdot 6 + 12\sqrt{12} + 9 \cdot 2 > 36$
$24 + 12\sqrt{4 \cdot 3} + 18 > 36$
$42 + 12 \cdot 2\sqrt{3} > 36$
$42 + 24\sqrt{3} > 36$.
Это неравенство очевидно верно, так как $42 > 36$ и $24\sqrt{3} > 0$.
Следовательно, мы получили, что $\cos(x + y) = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6} > 1$.
Это противоречит свойству функции косинуса, область значений которой — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: не существует такой пары $(x; y)$.