Номер 24.53, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.53. $\arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$

Для доказательства данного тождества мы последовательно вычислим сумму арксинусов, используя формулу для синуса суммы.

Пусть $? = \arcsin\frac{4}{5}$ и $? = \arcsin\frac{5}{13}$. Наша цель — доказать, что $? + ? + \arcsin\frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$.

Сначала найдем сумму $S = ? + ?$. Для этого вычислим синус и косинус этой суммы.

Из определений арксинуса имеем:

$\sin(?) = \frac{4}{5}$

$\sin(?) = \frac{5}{13}$

Поскольку аргументы арксинусов $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{13}$ положительны, углы $?$ и $?$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, их косинусы также положительны. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Теперь мы можем найти синус суммы $? + ?$, используя формулу $\sin(? + ?) = \sin(?)\cos(?) + \cos(?)\sin(?)$:

$\sin(? + ?) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}$.

Чтобы убедиться, что $?+?$ находится в главном промежутке для арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, найдем косинус суммы: $\cos(? + ?) = \cos(?)\cos(?) - \sin(?)\sin(?)$:

$\cos(? + ?) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}$.

Поскольку $\sin(?+?) > 0$ и $\cos(?+?) > 0$, угол $?+?$ находится в первой четверти, то есть $0 < ?+? < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, мы можем записать:

$? + ? = \arcsin\frac{63}{65}$.

Теперь исходное выражение можно переписать, подставив найденное значение суммы:

$(\arcsin\frac{4}{5} + \arcsin\frac{5}{13}) + \arcsin\frac{16}{65} = \arcsin\frac{63}{65} + \arcsin\frac{16}{65}$.

Для дальнейшего упрощения воспользуемся тождеством $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Преобразуем $\arcsin\frac{16}{65}$ в арккосинус. Пусть $? = \arcsin\frac{16}{65}$. Тогда $\sin(?) = \frac{16}{65}$ и $0 < ? < \frac{\pi}{2}$.

Найдем $\cos(?)$:

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{16}{65}\right)^2} = \sqrt{\frac{65^2 - 16^2}{65^2}} = \sqrt{\frac{4225 - 256}{4225}} = \sqrt{\frac{3969}{4225}} = \frac{63}{65}$.

Так как $\cos(?) = \frac{63}{65}$ и $?$ находится в первой четверти, то $? = \arccos\frac{63}{65}$.

Следовательно, $\arcsin\frac{16}{65} = \arccos\frac{63}{65}$.

Подставим это в наше выражение:

$\arcsin\frac{63}{65} + \arcsin\frac{16}{65} = \arcsin\frac{63}{65} + \arccos\frac{63}{65}$.

Согласно тождеству $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ (для $x \in [-1, 1]$), где в нашем случае $x = \frac{63}{65}$, получаем:

$\arcsin\frac{63}{65} + \arccos\frac{63}{65} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\frac{\pi}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.