Номер 24.51, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите равенство:

24.51. $ \arcsin \frac{4}{5} - \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} $

24.51. Для доказательства данного равенства преобразуем его левую и правую части, приведя их к одной и той же тригонометрической функции, например, к тангенсу. Затем мы покажем, что значения аргументов находятся в области, где эта функция является монотонной, что и будет означать равенство самих аргументов.

Пусть $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Тогда доказываемое равенство можно записать в виде $\alpha - \beta = \operatorname{arctg} \frac{1}{2}$.

Найдем тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$.

1. Для угла $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$:
По определению арксинуса, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Поскольку $\frac{4}{5} > 0$, то $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}]$.
Найдем косинус $\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
(Мы берем положительное значение корня, так как $\alpha$ находится в первой четверти).
Теперь найдем тангенс $\alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Для угла $\beta = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$:
По определению арккосинуса, $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\beta \in [0, \pi]$.
Поскольку $\frac{2}{\sqrt{5}} > 0$, то $\beta \in [0, \frac{\pi}{2})$.
Найдем синус $\beta$:
$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
(Мы берем положительное значение корня, так как $\beta$ находится в первой четверти).
Теперь найдем тангенс $\beta$:
$\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем тангенс левой части исходного равенства, используя формулу тангенса разности: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
Подставляем найденные значения $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2}$:
$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8 - 3}{6}}{1 + \frac{4}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Найдем тангенс правой части исходного равенства:
$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Мы получили, что тангенсы левой и правой частей равенства равны. Однако это еще не доказывает равенство самих выражений. Необходимо убедиться, что они принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции тангенса, например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Оценим значение левой части $\alpha - \beta$:
Мы знаем, что $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$.
Сравним $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3} \approx 1.33$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2} = 0.5$, а функция тангенса в первой четверти возрастает, то $\alpha > \beta$. Следовательно, $\alpha - \beta > 0$.
Так как $\alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\beta > 0$, то $\alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$.

Оценим значение правой части $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$:
Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, по определению арктангенса $0 < \operatorname{arctg} \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Итак, мы имеем два угла, $\alpha - \beta$ и $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, оба лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и их тангенсы равны $\frac{1}{2}$. Поскольку функция $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей (и, следовательно, взаимно однозначной), то из равенства тангенсов следует и равенство самих углов.

Следовательно, $\arcsin\frac{4}{5} - \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.