Номер 25.3, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

25.3. а) $ \frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 - \operatorname{tg} 2,22 \operatorname{tg} 0,92} $,

б) $ \frac{\operatorname{tg} 1,47 - \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \operatorname{tg} 0,69} $.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Сравнивая исходное выражение $ \frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 - \operatorname{tg} 2,22 \operatorname{tg} 0,92} $ с формулой, видим, что оно представляет собой тангенс суммы с аргументами $\alpha = 2,22$ и $\beta = 0,92$.

Следовательно, выражение можно переписать в виде: $ \operatorname{tg}(2,22 + 0,92) $.

Вычислим сумму в аргументе функции: $ 2,22 + 0,92 = 3,14 $.

Таким образом, мы получаем $\operatorname{tg}(3,14)$. В задачах по тригонометрии, если не указаны единицы измерения, углы обычно считаются в радианах. Число $3,14$ является общепринятым приближением для числа $\pi$. Поэтому: $ \operatorname{tg}(3,14) \approx \operatorname{tg}(\pi) = 0 $.

Ответ: $0$.

б)

Для этого выражения применим формулу тангенса разности двух углов: $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Исходное выражение $ \frac{\operatorname{tg} 1,47 - \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \operatorname{tg} 0,69} $ соответствует этой формуле при $\alpha = 1,47$ и $\beta = 0,69$.

Заменяем дробь на тангенс разности: $ \operatorname{tg}(1,47 - 0,69) $.

Вычисляем значение в скобках: $ 1,47 - 0,69 = 0,78 $.

В результате упрощения получаем $\operatorname{tg}(0,78)$.

Ответ: $\operatorname{tg}(0,78)$.