Номер 25.1, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

25.1. a) $ \text{tg } 15^{\circ} $;

б) $ \text{tg } 75^{\circ} $;

в) $ \text{tg } 105^{\circ} $;

г) $ \text{tg } 165^{\circ} $.

а)

Для вычисления $\tg 15^\circ$ представим этот угол как разность двух известных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
Подставим в формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$. Значения тангенсов этих углов известны: $\tg 45^\circ = 1$ и $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\tg 15^\circ = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \tg 30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

б)

Для вычисления $\tg 75^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$. Также мы знаем, что $\cot\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$.
Представим $75^\circ$ как $90^\circ - 15^\circ$.
$\tg 75^\circ = \tg(90^\circ - 15^\circ) = \cot 15^\circ = \frac{1}{\tg 15^\circ}$.
Из пункта а) нам известно, что $\tg 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это значение:
$\tg 75^\circ = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$

в)

Для вычисления $\tg 105^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$.
Представим $105^\circ$ как $180^\circ - 75^\circ$.
$\tg 105^\circ = \tg(180^\circ - 75^\circ) = -\tg 75^\circ$.
Из пункта б) нам известно, что $\tg 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$.
Следовательно:
$\tg 105^\circ = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$

г)

Для вычисления $\tg 165^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$.
Представим $165^\circ$ как $180^\circ - 15^\circ$.
$\tg 165^\circ = \tg(180^\circ - 15^\circ) = -\tg 15^\circ$.
Из пункта а) мы знаем, что $\tg 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.
Следовательно:
$\tg 165^\circ = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.

Ответ: $\sqrt{3} - 2$