Номер 25.5, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

25.5. a) $\frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (45^\circ - \alpha);$

б) $\operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) \operatorname{tg} x - 1;$

в) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha - \beta)} = 2;$

г) $\operatorname{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{tg} \alpha = 1 + \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть, используя формулу тангенса разности $\tg(A - B) = \frac{\tg A - \tg B}{1 + \tg A \tg B}$.

$\tg(45^\circ - \alpha) = \frac{\tg 45^\circ - \tg \alpha}{1 + \tg 45^\circ \tg \alpha}$

Зная, что $\tg 45^\circ = 1$, подставим это значение в формулу:

$\frac{1 - \tg \alpha}{1 + 1 \cdot \tg \alpha} = \frac{1 - \tg \alpha}{1 + \tg \alpha}$

Правая часть тождества оказалась равна левой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

Обозначим $A = \frac{3\pi}{4} - x$ и $B = x$.

Найдем сумму этих углов: $A+B = \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + x = \frac{3\pi}{4}$.

Тангенс этой суммы равен: $\tg(A+B) = \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Теперь подставим $\tg(A+B) = -1$ в формулу тангенса суммы:

$\frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B} = -1$

Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tg A \tg B)$, предполагая, что он не равен нулю (что является условием существования тангенса суммы):

$\tg A + \tg B = -1 \cdot (1 - \tg A \tg B)$

$\tg A + \tg B = -1 + \tg A \tg B$

Переставив слагаемые, получим: $\tg A + \tg B = \tg A \tg B - 1$.

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + \tg x = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) \tg x - 1$

Полученное выражение совпадает с исходным тождеством. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Преобразуем левую часть тождества, используя формулы тангенса суммы и разности:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$

Рассмотрим первое слагаемое левой части:

$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}$

При условии, что $\tg(\alpha + \beta) \neq 0$ (что также означает $\tg \alpha + \tg \beta \neq 0$), это выражение упрощается до:

$1 - \tg \alpha \tg \beta$

Рассмотрим второе слагаемое левой части:

$\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}}$

При условии, что $\tg(\alpha - \beta) \neq 0$ (что также означает $\tg \alpha - \tg \beta \neq 0$), это выражение упрощается до:

$1 + \tg \alpha \tg \beta$

Теперь сложим полученные выражения:

$(1 - \tg \alpha \tg \beta) + (1 + \tg \alpha \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta + 1 + \tg \alpha \tg \beta = 2$

Левая часть тождества равна 2, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Для доказательства тождества выполним равносильные преобразования. Перенесем слагаемые таким образом, чтобы сгруппировать выражения с $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Исходное тождество: $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \tg \alpha = 1 + \tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \tg \alpha$.

Перенесем слагаемое $\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \tg \alpha$ влево, а $-\tg\alpha$ вправо:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \tg \alpha = 1 + \tg \alpha$

Вынесем общий множитель $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ за скобки в левой части:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) (1 - \tg \alpha) = 1 + \tg \alpha$

Разделим обе части на $(1 - \tg \alpha)$, при условии, что $1 - \tg \alpha \neq 0$. Это условие ($\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$) совпадает с областью определения исходного тождества, так как в противном случае $\tg(\alpha+\frac{\pi}{4})$ был бы не определен.

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tg \alpha}{1 - \tg \alpha}$

Теперь докажем справедливость этого полученного равенства. Преобразуем его левую часть, используя формулу тангенса суммы:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg \alpha + \tg \frac{\pi}{4}}{1 - \tg \alpha \tg \frac{\pi}{4}}$

Так как $\tg \frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{\tg \alpha + 1}{1 - \tg \alpha \cdot 1} = \frac{1 + \tg \alpha}{1 - \tg \alpha}$

Мы показали, что левая часть равна правой. Так как все преобразования были равносильными, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.