Номер 24.52, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.52 $arccos \frac{1}{2} + arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = arccos \left( -\frac{13}{14} \right).$

Для доказательства данного тождества необходимо проверить, является ли оно верным. Для этого мы можем преобразовать левую часть равенства и сравнить ее с правой частью.

Воспользуемся формулой для суммы арккосинусов:
$\arccos(x) + \arccos(y) = \arccos(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$
Эта формула верна, если сумма углов $\arccos(x) + \arccos(y)$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Это условие выполняется, когда $x+y \ge 0$.

В нашем случае $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{7}$.
Сначала проверим условие применимости формулы:
$x + y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 2}{14} = \frac{5}{14}$.
Поскольку $x+y = \frac{5}{14} > 0$, мы можем использовать указанную формулу.

Подставим значения $x$ и $y$ в левую часть тождества и преобразуем ее, используя формулу:
$\arccos\frac{1}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \cdot \sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2}\right)$

Теперь выполним вычисления выражения внутри арккосинуса по шагам:
1. Найдем произведение $xy$:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{14}$
2. Найдем значения выражений под корнями:
$\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$
3. Найдем произведение корней:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{14} = \frac{4 \cdot 3}{14} = \frac{12}{14}$

Подставим полученные значения обратно в выражение для арккосинуса:
$\arccos\left(-\frac{1}{14} - \frac{12}{14}\right) = \arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть:
$\arccos\frac{1}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) = \arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$.
Следовательно, исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.