Номер 24.48, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.48. Постройте график функции:

a) $y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x + 10\pi}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5};$

б) $y = \cos \left( 2x + \frac{7\pi}{12} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( 2x + \frac{7\pi}{12} \right) \sin \left( x + \frac{9\pi}{4} \right).$

а) Исходная функция: $y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x + 10\pi}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5}$.

Для построения графика сначала упростим данное выражение. Заметим, что аргумент косинуса во втором множителе можно преобразовать:

$\frac{x + 10\pi}{5} = \frac{x}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{x}{5} + 2\pi$.

Поскольку функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, имеем $\cos\left(\frac{x}{5} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{5}\right)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5}$.

Данное выражение является формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{11x}{5}$ и $\beta = \frac{x}{5}$.

Таким образом, функция упрощается до вида:

$y = \sin\left(\frac{11x}{5} - \frac{x}{5}\right) = \sin\left(\frac{10x}{5}\right) = \sin(2x)$.

Графиком функции $y = \sin(2x)$ является синусоида. Для ее построения определим основные свойства:

• Амплитуда равна 1. Область значений функции: $E(y) = [-1, 1]$.
• Период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• График проходит через начало координат, так как фазовый сдвиг отсутствует.

Построение графика можно выполнить по ключевым точкам на одном периоде $[0, \pi]$:

• $(0, 0)$ - начало периода.
• $(\frac{\pi}{4}, 1)$ - точка максимума.
• $(\frac{\pi}{2}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ - точка минимума.
• $(\pi, 0)$ - конец периода.

График получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Ox.

Ответ: $y = \sin(2x)$.

б) Исходная функция: $y = \cos\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \sin\left(x + \frac{9\pi}{4}\right)$.

Для построения графика сначала упростим выражение. Преобразуем аргумент синуса в последнем множителе:

$x + \frac{9\pi}{4} = x + \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = x + \frac{\pi}{4} + 2\pi$.

Поскольку функция синус является периодической с периодом $2\pi$, имеем $\sin\left(x + \frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \cos\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Данное выражение является формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, функция упрощается до вида:

$y = \cos\left(\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) - \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$.

Упростим аргумент косинуса:

$2x + \frac{7\pi}{12} - x - \frac{\pi}{4} = (2x - x) + \left(\frac{7\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) = x + \frac{4\pi}{12} = x + \frac{\pi}{3}$.

Итак, $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Графиком функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ является косинусоида. Для ее построения определим основные свойства:

• Амплитуда равна 1. Область значений функции: $E(y) = [-1, 1]$.
• Период равен $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг равен $-\frac{\pi}{3}$. Это означает, что график $y = \cos x$ сдвинут влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

Построение графика можно выполнить по ключевым точкам на одном периоде $[-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$:

• $(-\frac{\pi}{3}, 1)$ - точка максимума.
• $(\frac{\pi}{6}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{2\pi}{3}, -1)$ - точка минимума.
• $(\frac{7\pi}{6}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{5\pi}{3}, 1)$ - конец периода.

График получается из графика $y=\cos x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ вдоль оси Ox.

Ответ: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.