Страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите закон гармонических колебаний.

Гармонические колебания — это такие колебания, при которых физическая величина (например, смещение, скорость, напряжение) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Они являются простейшим и наиболее важным типом периодических процессов.

Закон гармонических колебаний описывает зависимость колеблющейся величины от времени. В общем виде для смещения $x$ от положения равновесия в момент времени $t$ он записывается следующим образом:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Разберем каждый из параметров этой формулы:

• $x(t)$ — смещение тела (или значение колеблющейся величины) от положения равновесия в момент времени $t$.
• $A$ — амплитуда колебаний. Это максимальное значение смещения от положения равновесия. Амплитуда всегда положительна ($A \ge 0$).
• $\omega$ (омега) — циклическая или угловая частота. Она показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за одну секунду. Циклическая частота связана с периодом колебаний $T$ (время одного полного колебания) и линейной частотой $\nu$ (число колебаний в секунду) соотношениями: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$. Единица измерения — рад/с.
• $\phi_0$ (фи нулевое) — начальная фаза колебаний. Это значение фазы в начальный момент времени ($t=0$). Начальная фаза определяет состояние системы (ее смещение и направление движения) в самом начале наблюдения. Измеряется в радианах.
• $(\omega t + \phi_0)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$. Она полностью характеризует состояние колебательной системы в любой момент времени.

Следует отметить, что закон гармонических колебаний также может быть представлен через функцию синуса:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_1)$

Эти две формы записи эквивалентны, так как одна может быть преобразована в другую с помощью формул приведения (например, $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$). Выбор между синусом и косинусом обычно диктуется удобством или начальными условиями задачи.

Ответ: Закон гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

2. Опишите алгоритм построения графика гармонических колебаний $s = 2 \sin \left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ в системе координат tOs. Укажите амплитуду, частоту и начальную фазу этого колебания.

Для решения задачи проанализируем заданное уравнение гармонических колебаний $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ и сравним его с общей формой $s(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — угловая (циклическая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитуда $A$ — это максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. В уравнении она соответствует коэффициенту перед функцией синуса. В данном случае, $A = 2$.

Ответ: Амплитуда колебания равна $2$.

Угловая (циклическая) частота $\omega$ показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за единицу времени. В уравнении она является коэффициентом при времени $t$ внутри аргумента синуса. В данном случае, $\omega = \frac{1}{2}$ рад/с. Иногда под частотой понимают линейную частоту $\nu$, которая связана с угловой частотой соотношением $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$. Для данного колебания линейная частота составляет $\nu = \frac{1/2}{2\pi} = \frac{1}{4\pi}$ Гц.

Ответ: Угловая частота $\omega = \frac{1}{2}$ рад/с.

Начальная фаза $\phi_0$ определяет фазу колебания в начальный момент времени ($t=0$). В уравнении это свободный член в аргументе синуса. В данном случае, $\phi_0 = -\frac{\pi}{4}$ рад. Отрицательный знак указывает, что в момент $t=0$ колебания "отстают" по фазе от колебаний, описываемых функцией $\sin(\omega t)$.

Ответ: Начальная фаза равна $-\frac{\pi}{4}$ рад.

Построение графика функции $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ выполняется путем последовательных геометрических преобразований графика базовой функции $s_1 = \sin(t)$.

1. Базовый график. Построить график основной гармоники $s_1 = \sin(t)$. Это синусоида с амплитудой $1$ и периодом $T_1 = 2\pi$.
2. Горизонтальное растяжение. Выполнить растяжение графика $s_1$ вдоль оси абсцисс ($Ot$). Так как коэффициент при $t$ равен $\frac{1}{2}$, период функции увеличивается в $1 / (1/2) = 2$ раза. Получаем график функции $s_2 = \sin\left(\frac{t}{2}\right)$ с периодом $T_2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
3. Горизонтальный сдвиг. Выполнить сдвиг графика $s_2$ вдоль оси абсцисс ($Ot$). Для этого представим аргумент синуса в виде $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)$. Это означает, что график необходимо сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{2}$. Получаем график функции $s_3 = \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
4. Вертикальное растяжение. Выполнить растяжение графика $s_3$ вдоль оси ординат ($Os$). Множитель $2$ перед синусом означает, что амплитуда колебаний равна $2$. Необходимо растянуть график от оси $Ot$ в $2$ раза. Получаем итоговый график $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$. Все значения функции будут лежать в пределах от $-2$ до $2$.

Для практического построения можно найти ключевые точки одного периода ($T = 4\pi$), учитывая фазовый сдвиг $t_{сдвиг} = \frac{\pi}{2}$:

• Начало периода (возрастание): $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = 0 \implies t = \frac{\pi}{2}$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Максимум: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{3\pi}{2}$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 2)$.
• Пересечение оси (убывание): $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi \implies t = \frac{5\pi}{2}$. Точка $(\frac{5\pi}{2}, 0)$.
• Минимум: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies t = \frac{7\pi}{2}$. Точка $(\frac{7\pi}{2}, -2)$.
• Конец периода: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = 2\pi \implies t = \frac{9\pi}{2}$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, 0)$.

Соединив эти точки плавной кривой и продолжив ее периодически, получим искомый график.

Ответ: Алгоритм состоит из четырех последовательных преобразований графика $s=\sin(t)$: 1) горизонтальное растяжение в 2 раза (период становится $4\pi$); 2) горизонтальный сдвиг вправо на $\frac{\pi}{2}$; 3) вертикальное растяжение в 2 раза (амплитуда становится 2).

24.42. Сравните числа $a = \cos x \cos 2x$ и $b = \cos 3x$, если:

а) $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

б) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Для того чтобы сравнить числа $a = \cos x \cos 2x$ и $b = \cos 3x$, найдем знак их разности $a - b$.

Рассмотрим разность $a - b = \cos x \cos 2x - \cos 3x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическими формулами. Существует несколько способов упрощения. Рассмотрим один из них.

Используем формулу косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

Также используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим эти выражения в $a$ и $b$:

$a = \cos x (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^3 x - \cos x$.

Теперь найдем разность $a-b$:

$a - b = (2\cos^3 x - \cos x) - (4\cos^3 x - 3\cos x)$

$a - b = 2\cos^3 x - \cos x - 4\cos^3 x + 3\cos x$

$a - b = -2\cos^3 x + 2\cos x$

Вынесем за скобки общий множитель $2\cos x$:

$a - b = 2\cos x (1 - \cos^2 x)$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Таким образом, разность $a - b$ равна:

$a - b = 2\cos x \sin^2 x$

Теперь мы можем определить знак этой разности для заданных в условии промежутков.

а) если $0 < x < \frac{\pi}{2}$

В этом промежутке (I координатная четверть) значения синуса и косинуса положительны:

$\cos x > 0$

$\sin x > 0$, следовательно $\sin^2 x = (\sin x)^2 > 0$.

Так как все множители в выражении $2\cos x \sin^2 x$ положительны (2 > 0, $\cos x > 0$, $\sin^2 x > 0$), то и их произведение будет положительным.

$a - b > 0$, что означает $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) если $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

В этом промежутке (II координатная четверть) косинус отрицателен, а синус положителен:

$\cos x < 0$

$\sin x > 0$, следовательно $\sin^2 x > 0$.

В выражении $a - b = 2\cos x \sin^2 x$ множитель $2$ положителен, $\cos x$ отрицателен, а $\sin^2 x$ положителен. Произведение положительного, отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.

$a - b < 0$, что означает $a < b$.

Ответ: $a < b$.

24.43. Сравните числа $a = \sin x \cos 2x$ и $b = \sin 3x$, если:

а) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

б) $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Чтобы сравнить числа $a = \sin x \cos 2x$ и $b = \sin 3x$, найдем их разность $b - a$.

Для преобразования выражения $b$ воспользуемся формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Представим $\sin 3x$ как $\sin(2x + x)$:

$b = \sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$.

Теперь найдем разность $b - a$:

$b - a = (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) - \sin x \cos 2x = \sin 2x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$b - a = (2 \sin x \cos x) \cos x = 2 \sin x \cos^2 x$.

Теперь знак разности $b - a$ зависит от знака выражения $2 \sin x \cos^2 x$. Так как $2 > 0$ и $\cos^2 x \ge 0$, знак разности определяется знаком $\sin x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $ \frac{\pi}{2} < x < \pi$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

1. $\sin x > 0$.

2. $\cos x < 0$, но $\cos^2 x > 0$, так как в данном открытом интервале $x \neq \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, разность $b - a = 2 \sin x \cos^2 x$ является произведением трех положительных сомножителей (2, $\sin x$ и $\cos^2 x$), поэтому $b - a > 0$.

Из $b - a > 0$ следует, что $b > a$.

Ответ: $a < b$.

б) $ \pi < x < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.

1. $\sin x < 0$.

2. $\cos x < 0$, но $\cos^2 x > 0$, так как в данном открытом интервале $x \neq \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, разность $b - a = 2 \sin x \cos^2 x$ является произведением положительного числа (2), отрицательного числа ($\sin x$) и положительного числа ($\cos^2 x$), поэтому $b - a < 0$.

Из $b - a < 0$ следует, что $b < a$.

Ответ: $a > b$.

24.44. Сравните числа a и b, если:

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$;

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$.

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим их знаки. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения знаков воспользуемся единичной окружностью и приближенными значениями: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла 3 радиана.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (т.е. $1,57 < 3 < 3,14$), угол 3 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Следовательно, $\sin 3 > 0$ и $\cos 3 < 0$.

2. Определим знаки тригонометрических функций для угла 4 радиана.
Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (т.е. $3,14 < 4 < 4,71$), угол 4 радиана находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Следовательно, $\sin 4 < 0$ и $\cos 4 < 0$.

3. Теперь определим знаки чисел $a$ и $b$.
$a = \frac{\sin 3}{\sin 4} = \frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}}$, значит $a < 0$.
$b = \frac{\cos 3}{\cos 4} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}$, значит $b > 0$.

Так как $a$ - отрицательное число, а $b$ - положительное, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$

Действуем аналогично предыдущему пункту, определяя знаки чисел $a$ и $b$. Используем те же приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла 4 радиана.
Как мы уже установили в пункте а), угол 4 радиана находится в третьей координатной четверти, поэтому $\sin 4 < 0$ и $\cos 4 < 0$.

2. Определим знаки тригонометрических функций для угла 5 радиан.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (т.е. $4,71 < 5 < 6,28$), угол 5 радиан находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен. Следовательно, $\sin 5 < 0$ и $\cos 5 > 0$.

3. Теперь определим знаки чисел $a$ и $b$.
$a = \frac{\sin 4}{\cos 5} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}}$, значит $a < 0$.
$b = \frac{\cos 4}{\sin 5} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}$, значит $b > 0$.

Так как $a$ - отрицательное число, а $b$ - положительное, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.

24.45. а) Зная, что $ \cos(x + y) = a $, $ \cos(x - y) = b $, найдите $ \tan x \tan y $.

б) Зная, что $ \sin(x + y) = a $, $ \sin(x - y) = b $, найдите $ \frac{\tan x}{\tan y} $.

а) Дано: $\cos(x + y) = a$ и $\cos(x - y) = b$.

Распишем левые части уравнений, используя тригонометрические формулы косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = a$

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = b$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений относительно произведений $\cos x \cos y$ и $\sin x \sin y$:

$\begin{cases} \cos x \cos y - \sin x \sin y = a \\ \cos x \cos y + \sin x \sin y = b \end{cases}$

Необходимо найти выражение $\tg x \tg y$. Представим его через синусы и косинусы:

$\tg x \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}$

Для нахождения числителя и знаменателя этой дроби решим полученную систему уравнений. Сначала сложим два уравнения системы:

$(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + (\cos x \cos y + \sin x \sin y) = a + b$

$2 \cos x \cos y = a + b \implies \cos x \cos y = \frac{a + b}{2}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(\cos x \cos y + \sin x \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y) = b - a$

$2 \sin x \sin y = b - a \implies \sin x \sin y = \frac{b - a}{2}$

Теперь, когда у нас есть выражения для числителя и знаменателя, мы можем найти $\tg x \tg y$. Для существования тангенсов необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, что означает $\cos x \cos y \neq 0$, и следовательно $a + b \neq 0$.

$\tg x \tg y = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\frac{b - a}{2}}{\frac{a + b}{2}} = \frac{b - a}{a + b}$

Ответ: $\frac{b-a}{a+b}$.

б) Дано: $\sin(x + y) = a$ и $\sin(x - y) = b$.

Распишем левые части уравнений, используя тригонометрические формулы синуса суммы и разности углов:

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = a$

$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y = b$

Мы получили систему двух линейных уравнений относительно произведений $\sin x \cos y$ и $\cos x \sin y$:

$\begin{cases} \sin x \cos y + \cos x \sin y = a \\ \sin x \cos y - \cos x \sin y = b \end{cases}$

Необходимо найти выражение $\frac{\tg x}{\tg y}$. Представим его через синусы и косинусы:

$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \frac{\sin x \cos y}{\cos x \sin y}$

Для нахождения числителя и знаменателя этой дроби решим систему. Сложим два уравнения системы:

$(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = a + b$

$2 \sin x \cos y = a + b \implies \sin x \cos y = \frac{a + b}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = a - b$

$2 \cos x \sin y = a - b \implies \cos x \sin y = \frac{a - b}{2}$

Теперь подставим полученные выражения в искомую дробь. Для существования выражения $\frac{\tg x}{\tg y}$ необходимо, чтобы тангенсы существовали и $\tg y \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, $\cos y \neq 0$ и $\sin y \neq 0$. Следовательно, знаменатель $\cos x \sin y \neq 0$, а значит $a - b \neq 0$.

$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\sin x \cos y}{\cos x \sin y} = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a - b}{2}} = \frac{a + b}{a - b}$

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

24.46. Докажите, что не существует пары (x; y) такой, что:

а) $ \sin x \cos y = 0,7 $; $ \cos x \sin y = 0,4 $

б) $ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3} $; $ \sin x \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

а) Докажем методом от противного. Предположим, что такая пара $(x; y)$ существует, для которой выполняются данные равенства. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы двух углов: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Подставим в эту формулу значения из условия задачи:
$\sin(x + y) = 0,7 + 0,4 = 1,1$.
Однако, область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $z$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin z \le 1$.
Поскольку мы получили значение $\sin(x + y) = 1,1$, которое больше 1, мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: не существует такой пары $(x; y)$.

б) Докажем методом от противного. Предположим, что такая пара $(x; y)$ существует, для которой выполняются данные равенства. Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Подставим в эту формулу значения из условия задачи:
$\cos(x + y) = \frac{\sqrt{6}}{3} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\cos(x + y) = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6}$.
Проверим, не превышает ли это значение 1. Для этого сравним числитель $2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$ и знаменатель $6$. Поскольку обе части выражения $2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} > 6$ положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(2\sqrt{6} + 3\sqrt{2})^2 > 6^2$
$(2\sqrt{6})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{6}) \cdot (3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 > 36$
$4 \cdot 6 + 12\sqrt{12} + 9 \cdot 2 > 36$
$24 + 12\sqrt{4 \cdot 3} + 18 > 36$
$42 + 12 \cdot 2\sqrt{3} > 36$
$42 + 24\sqrt{3} > 36$.
Это неравенство очевидно верно, так как $42 > 36$ и $24\sqrt{3} > 0$.
Следовательно, мы получили, что $\cos(x + y) = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6} > 1$.
Это противоречит свойству функции косинуса, область значений которой — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: не существует такой пары $(x; y)$.

24.47. a) Докажите, что если $\tan(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos \gamma$, то $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

б) докажите, что если $\cot(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\cos \gamma$, то $\alpha + \beta + \gamma = \pi n.$

а) Дано равенство $\text{tg}(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos \gamma$.
Для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $\cos(\alpha + \beta) \neq 0$.
Перепишем тангенс как отношение синуса к косинусу: $ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \sin \gamma = \cos \gamma $
Умножим обе части на $\cos(\alpha + \beta)$: $ \sin(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma $
Перенесем все члены в одну сторону: $ \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma - \sin(\alpha + \beta) \sin \gamma = 0 $
Левая часть выражения является формулой косинуса суммы: $\cos(X+Y) = \cos X \cos Y - \sin X \sin Y$.
Применив её для $X = \alpha + \beta$ и $Y = \gamma$, получаем: $ \cos((\alpha + \beta) + \gamma) = 0 $
Решением этого уравнения является: $ \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Дано равенство $\text{ctg}(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\cos \gamma$.
Для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $\sin(\alpha + \beta) \neq 0$.
Перепишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \sin \gamma = -\cos \gamma $
Умножим обе части на $\sin(\alpha + \beta)$: $ \cos(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma $
Перенесем все члены в левую часть уравнения: $ \sin(\alpha + \beta) \cos \gamma + \cos(\alpha + \beta) \sin \gamma = 0 $
Левая часть выражения является формулой синуса суммы: $\sin(X+Y) = \sin X \cos Y + \cos X \sin Y$.
Применив её для $X = \alpha + \beta$ и $Y = \gamma$, получаем: $ \sin((\alpha + \beta) + \gamma) = 0 $
Решением этого уравнения является: $ \alpha + \beta + \gamma = \pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: что и требовалось доказать.

24.48. Постройте график функции:

a) $y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x + 10\pi}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5};$

б) $y = \cos \left( 2x + \frac{7\pi}{12} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( 2x + \frac{7\pi}{12} \right) \sin \left( x + \frac{9\pi}{4} \right).$

а) Исходная функция: $y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x + 10\pi}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5}$.

Для построения графика сначала упростим данное выражение. Заметим, что аргумент косинуса во втором множителе можно преобразовать:

$\frac{x + 10\pi}{5} = \frac{x}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{x}{5} + 2\pi$.

Поскольку функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, имеем $\cos\left(\frac{x}{5} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{5}\right)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \sin \frac{11x}{5} \cos \frac{x}{5} - \cos \frac{11x}{5} \sin \frac{x}{5}$.

Данное выражение является формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{11x}{5}$ и $\beta = \frac{x}{5}$.

Таким образом, функция упрощается до вида:

$y = \sin\left(\frac{11x}{5} - \frac{x}{5}\right) = \sin\left(\frac{10x}{5}\right) = \sin(2x)$.

Графиком функции $y = \sin(2x)$ является синусоида. Для ее построения определим основные свойства:

• Амплитуда равна 1. Область значений функции: $E(y) = [-1, 1]$.
• Период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• График проходит через начало координат, так как фазовый сдвиг отсутствует.

Построение графика можно выполнить по ключевым точкам на одном периоде $[0, \pi]$:

• $(0, 0)$ - начало периода.
• $(\frac{\pi}{4}, 1)$ - точка максимума.
• $(\frac{\pi}{2}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ - точка минимума.
• $(\pi, 0)$ - конец периода.

График получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Ox.

Ответ: $y = \sin(2x)$.

б) Исходная функция: $y = \cos\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \sin\left(x + \frac{9\pi}{4}\right)$.

Для построения графика сначала упростим выражение. Преобразуем аргумент синуса в последнем множителе:

$x + \frac{9\pi}{4} = x + \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = x + \frac{\pi}{4} + 2\pi$.

Поскольку функция синус является периодической с периодом $2\pi$, имеем $\sin\left(x + \frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \cos\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Данное выражение является формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, функция упрощается до вида:

$y = \cos\left(\left(2x + \frac{7\pi}{12}\right) - \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$.

Упростим аргумент косинуса:

$2x + \frac{7\pi}{12} - x - \frac{\pi}{4} = (2x - x) + \left(\frac{7\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) = x + \frac{4\pi}{12} = x + \frac{\pi}{3}$.

Итак, $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Графиком функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ является косинусоида. Для ее построения определим основные свойства:

• Амплитуда равна 1. Область значений функции: $E(y) = [-1, 1]$.
• Период равен $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг равен $-\frac{\pi}{3}$. Это означает, что график $y = \cos x$ сдвинут влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

Построение графика можно выполнить по ключевым точкам на одном периоде $[-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$:

• $(-\frac{\pi}{3}, 1)$ - точка максимума.
• $(\frac{\pi}{6}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{2\pi}{3}, -1)$ - точка минимума.
• $(\frac{7\pi}{6}, 0)$ - пересечение с осью абсцисс.
• $(\frac{5\pi}{3}, 1)$ - конец периода.

График получается из графика $y=\cos x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ вдоль оси Ox.

Ответ: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

24.49. Вычислите:

а) $ \sin \left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right); $

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{6} + \arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right); $

в) $ \sin \left(\frac{\pi}{4} - \arcsin \frac{3}{5}\right); $

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{5}{13}\right). $

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{3} + \arccos\frac{3}{5}) $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \arccos\frac{3}{5} $. По определению арккосинуса, $ \cos\beta = \frac{3}{5} $ и $ \beta \in [0, \pi] $.

Найдем $ \sin\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \cos\beta = \frac{3}{5} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти ($ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса суммы:

$ \sin(\frac{\pi}{3} + \beta) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos\beta + \cos(\frac{\pi}{3})\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} $

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(-\frac{3}{5})) $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \arccos(-\frac{3}{5}) $. По определению арккосинуса, $ \cos\beta = -\frac{3}{5} $ и $ \beta \in [0, \pi] $.

Найдем $ \sin\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \cos\beta = -\frac{3}{5} < 0 $, угол $ \beta $ находится во второй четверти ($ \beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi] $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу косинуса суммы:

$ \cos(\frac{\pi}{6} + \beta) = \cos(\frac{\pi}{6})\cos\beta - \sin(\frac{\pi}{6})\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{5}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = \frac{-4 - 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{-4 - 3\sqrt{3}}{10} $

в)

Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{4} - \arcsin\frac{3}{5}) $ воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \arcsin\frac{3}{5} $. По определению арксинуса, $ \sin\beta = \frac{3}{5} $ и $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

Найдем $ \cos\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \sin\beta = \frac{3}{5} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти ($ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $), где косинус положителен. Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$ \sin(\frac{\pi}{4} - \beta) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos\beta - \cos(\frac{\pi}{4})\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{10} $

г)

Для вычисления значения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{5}{13}) $ воспользуемся формулой приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $.

В нашем случае $ \alpha = \arcsin\frac{5}{13} $.

Тогда $ \cos(\frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{5}{13}) = \sin(\arcsin\frac{5}{13}) $.

По определению арксинуса, $ \sin(\arcsin x) = x $.

Следовательно, $ \sin(\arcsin\frac{5}{13}) = \frac{5}{13} $.

Ответ: $ \frac{5}{13} $