Номер 24.49, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.49. Вычислите:

а) $ \sin \left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right); $

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{6} + \arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right); $

в) $ \sin \left(\frac{\pi}{4} - \arcsin \frac{3}{5}\right); $

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{5}{13}\right). $

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{3} + \arccos\frac{3}{5}) $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \arccos\frac{3}{5} $. По определению арккосинуса, $ \cos\beta = \frac{3}{5} $ и $ \beta \in [0, \pi] $.

Найдем $ \sin\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \cos\beta = \frac{3}{5} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти ($ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса суммы:

$ \sin(\frac{\pi}{3} + \beta) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos\beta + \cos(\frac{\pi}{3})\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} $

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(-\frac{3}{5})) $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \arccos(-\frac{3}{5}) $. По определению арккосинуса, $ \cos\beta = -\frac{3}{5} $ и $ \beta \in [0, \pi] $.

Найдем $ \sin\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \cos\beta = -\frac{3}{5} < 0 $, угол $ \beta $ находится во второй четверти ($ \beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi] $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу косинуса суммы:

$ \cos(\frac{\pi}{6} + \beta) = \cos(\frac{\pi}{6})\cos\beta - \sin(\frac{\pi}{6})\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{5}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = \frac{-4 - 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{-4 - 3\sqrt{3}}{10} $

в)

Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{4} - \arcsin\frac{3}{5}) $ воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \arcsin\frac{3}{5} $. По определению арксинуса, $ \sin\beta = \frac{3}{5} $ и $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

Найдем $ \cos\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Поскольку $ \sin\beta = \frac{3}{5} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти ($ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $), где косинус положителен. Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$ \sin(\frac{\pi}{4} - \beta) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos\beta - \cos(\frac{\pi}{4})\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{10} $

г)

Для вычисления значения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{5}{13}) $ воспользуемся формулой приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $.

В нашем случае $ \alpha = \arcsin\frac{5}{13} $.

Тогда $ \cos(\frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{5}{13}) = \sin(\arcsin\frac{5}{13}) $.

По определению арксинуса, $ \sin(\arcsin x) = x $.

Следовательно, $ \sin(\arcsin\frac{5}{13}) = \frac{5}{13} $.

Ответ: $ \frac{5}{13} $