Номер 25.2, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.2. а) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ}+\operatorname{tg} 20^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 25^{\circ} \operatorname{tg} 20^{\circ}};$

б) $\frac{1-\operatorname{tg} 70^{\circ} \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ}+\operatorname{tg} 65^{\circ}};$

в) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ}+\operatorname{tg} 51^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 9^{\circ} \operatorname{tg} 51^{\circ}};$

г) $\frac{1+\operatorname{tg} 54^{\circ} \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ}-\operatorname{tg} 9^{\circ}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

В нашем случае, $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.

Подставив значения в формулу, получаем:

$\frac{\tg 25^\circ + \tg 20^\circ}{1 - \tg 25^\circ \tg 20^\circ} = \tg(25^\circ + 20^\circ) = \tg 45^\circ$

Мы знаем, что значение тангенса 45 градусов равно 1.

$\tg 45^\circ = 1$

Ответ: 1

б) В этом примере мы видим выражение, которое соответствует формуле котангенса суммы двух углов:

$\ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}$

Здесь $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 65^\circ$.

Применим формулу:

$\frac{1 - \tg 70^\circ \tg 65^\circ}{\tg 70^\circ + \tg 65^\circ} = \ctg(70^\circ + 65^\circ) = \ctg 135^\circ$

Чтобы найти значение $\ctg 135^\circ$, можно использовать формулу приведения $\ctg(180^\circ - x) = -\ctg x$.

$\ctg 135^\circ = \ctg(180^\circ - 45^\circ) = -\ctg 45^\circ = -1$

Ответ: -1

в) Этот пример снова решается с помощью формулы тангенса суммы двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

В данном выражении $\alpha = 9^\circ$ и $\beta = 51^\circ$.

Вычисляем:

$\frac{\tg 9^\circ + \tg 51^\circ}{1 - \tg 9^\circ \tg 51^\circ} = \tg(9^\circ + 51^\circ) = \tg 60^\circ$

Значение тангенса 60 градусов является табличным.

$\tg 60^\circ = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Данное выражение является формулой котангенса разности двух углов:

$\ctg(\alpha - \beta) = \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta}$

В нашем случае, $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 9^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1 + \tg 54^\circ \tg 9^\circ}{\tg 54^\circ - \tg 9^\circ} = \ctg(54^\circ - 9^\circ) = \ctg 45^\circ$

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

$\ctg 45^\circ = 1$

Ответ: 1