Номер 24.50, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.50. Вычислите:

a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right);$

б) $\cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right).$

Для вычисления значения выражения $ \sin\left(\arccos\left(\frac{4}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right) $ мы воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) $.

Пусть $ \alpha = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) $ и $ \beta = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

По определению арккосинуса, $ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $, и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Поскольку $ \cos(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти, то есть $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \sin(\alpha) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:
$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.
Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) $ положителен: $ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

По определению арксинуса, $ \sin(\beta) = \frac{1}{3} $, и угол $ \beta $ находится в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Поскольку $ \sin(\beta) > 0 $, угол $ \beta $ лежит в первой четверти, то есть $ 0 \le \beta \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \cos(\beta) $ из основного тригонометрического тождества:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos(\beta) $ положителен: $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6\sqrt{2}}{15} + \frac{4}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} $.

Ответ: $ \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} $.

Для вычисления $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) $, воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $. Тогда выражение примет вид: $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} - \arcsin\frac{3}{5}\right) $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $ и $ \beta = \arcsin\frac{3}{5} $.

По определению арктангенса, $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{3}{4} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Так как тангенс положителен, $ \alpha $ находится в первой четверти: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \sin(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $ из тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $:
$ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} $.
Отсюда $ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} $. Поскольку $ \alpha $ в первой четверти, $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
Тогда $ \sin(\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} $.

По определению арксинуса, $ \sin(\beta) = \frac{3}{5} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2} $. Так как синус положителен, $ \beta $ находится в первой четверти: $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \cos(\beta) $:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.
Поскольку $ \beta $ в первой четверти, $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Подставляем значения в формулу косинуса разности:
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1 $.

Альтернативное решение:
Можно доказать, что $ \operatorname{arctg}\frac{3}{4} = \arcsin\frac{3}{5} $. Пусть $ \gamma = \arcsin\frac{3}{5} $. Тогда $ \sin(\gamma) = \frac{3}{5} $ и $ 0 < \gamma < \frac{\pi}{2} $. Найдем $ \cos(\gamma) = \sqrt{1 - \sin^2(\gamma)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $. Тогда $ \operatorname{tg}(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $. Так как $ 0 < \gamma < \frac{\pi}{2} $, из $ \operatorname{tg}(\gamma) = \frac{3}{4} $ следует, что $ \gamma = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. Следовательно, $ \arcsin\frac{3}{5} = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. Тогда исходное выражение равно $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} - \operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right) = \cos(0) = 1 $.

Ответ: $ 1 $.