Номер 24.45, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.45. а) Зная, что $ \cos(x + y) = a $, $ \cos(x - y) = b $, найдите $ \tan x \tan y $.

б) Зная, что $ \sin(x + y) = a $, $ \sin(x - y) = b $, найдите $ \frac{\tan x}{\tan y} $.

а) Дано: $\cos(x + y) = a$ и $\cos(x - y) = b$.

Распишем левые части уравнений, используя тригонометрические формулы косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = a$

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = b$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений относительно произведений $\cos x \cos y$ и $\sin x \sin y$:

$\begin{cases} \cos x \cos y - \sin x \sin y = a \\ \cos x \cos y + \sin x \sin y = b \end{cases}$

Необходимо найти выражение $\tg x \tg y$. Представим его через синусы и косинусы:

$\tg x \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}$

Для нахождения числителя и знаменателя этой дроби решим полученную систему уравнений. Сначала сложим два уравнения системы:

$(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + (\cos x \cos y + \sin x \sin y) = a + b$

$2 \cos x \cos y = a + b \implies \cos x \cos y = \frac{a + b}{2}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(\cos x \cos y + \sin x \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y) = b - a$

$2 \sin x \sin y = b - a \implies \sin x \sin y = \frac{b - a}{2}$

Теперь, когда у нас есть выражения для числителя и знаменателя, мы можем найти $\tg x \tg y$. Для существования тангенсов необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, что означает $\cos x \cos y \neq 0$, и следовательно $a + b \neq 0$.

$\tg x \tg y = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\frac{b - a}{2}}{\frac{a + b}{2}} = \frac{b - a}{a + b}$

Ответ: $\frac{b-a}{a+b}$.

б) Дано: $\sin(x + y) = a$ и $\sin(x - y) = b$.

Распишем левые части уравнений, используя тригонометрические формулы синуса суммы и разности углов:

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = a$

$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y = b$

Мы получили систему двух линейных уравнений относительно произведений $\sin x \cos y$ и $\cos x \sin y$:

$\begin{cases} \sin x \cos y + \cos x \sin y = a \\ \sin x \cos y - \cos x \sin y = b \end{cases}$

Необходимо найти выражение $\frac{\tg x}{\tg y}$. Представим его через синусы и косинусы:

$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \frac{\sin x \cos y}{\cos x \sin y}$

Для нахождения числителя и знаменателя этой дроби решим систему. Сложим два уравнения системы:

$(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = a + b$

$2 \sin x \cos y = a + b \implies \sin x \cos y = \frac{a + b}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = a - b$

$2 \cos x \sin y = a - b \implies \cos x \sin y = \frac{a - b}{2}$

Теперь подставим полученные выражения в искомую дробь. Для существования выражения $\frac{\tg x}{\tg y}$ необходимо, чтобы тангенсы существовали и $\tg y \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, $\cos y \neq 0$ и $\sin y \neq 0$. Следовательно, знаменатель $\cos x \sin y \neq 0$, а значит $a - b \neq 0$.

$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\sin x \cos y}{\cos x \sin y} = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a - b}{2}} = \frac{a + b}{a - b}$

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.