Номер 24.47, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.47. a) Докажите, что если $\tan(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos \gamma$, то $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

б) докажите, что если $\cot(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\cos \gamma$, то $\alpha + \beta + \gamma = \pi n.$

а) Дано равенство $\text{tg}(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos \gamma$.
Для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $\cos(\alpha + \beta) \neq 0$.
Перепишем тангенс как отношение синуса к косинусу: $ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \sin \gamma = \cos \gamma $
Умножим обе части на $\cos(\alpha + \beta)$: $ \sin(\alpha + \beta) \sin \gamma = \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma $
Перенесем все члены в одну сторону: $ \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma - \sin(\alpha + \beta) \sin \gamma = 0 $
Левая часть выражения является формулой косинуса суммы: $\cos(X+Y) = \cos X \cos Y - \sin X \sin Y$.
Применив её для $X = \alpha + \beta$ и $Y = \gamma$, получаем: $ \cos((\alpha + \beta) + \gamma) = 0 $
Решением этого уравнения является: $ \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Дано равенство $\text{ctg}(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\cos \gamma$.
Для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $\sin(\alpha + \beta) \neq 0$.
Перепишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \sin \gamma = -\cos \gamma $
Умножим обе части на $\sin(\alpha + \beta)$: $ \cos(\alpha + \beta) \sin \gamma = -\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma $
Перенесем все члены в левую часть уравнения: $ \sin(\alpha + \beta) \cos \gamma + \cos(\alpha + \beta) \sin \gamma = 0 $
Левая часть выражения является формулой синуса суммы: $\sin(X+Y) = \sin X \cos Y + \cos X \sin Y$.
Применив её для $X = \alpha + \beta$ и $Y = \gamma$, получаем: $ \sin((\alpha + \beta) + \gamma) = 0 $
Решением этого уравнения является: $ \alpha + \beta + \gamma = \pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: что и требовалось доказать.