Номер 24.40, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.40. а) Зная, что $\sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 0,6$ и $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$, вычислите $\sin x$.

б) Зная, что $\cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = -0,8$ и $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$, вычислите $\cos x$.

а)

По условию задачи дано: $ \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 0,6 $ и $ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6} $.

1. Введем замену: пусть $ \alpha = x - \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \sin(\alpha) = 0,6 $.

2. Найдем $ \cos(\alpha) $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

Отсюда $ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $.

3. Чтобы определить знак $ \cos(\alpha) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \alpha $. Для этого используем данное неравенство для $ x $:

$ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6} $

Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:

$ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} $

$ \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{6\pi}{6} $

$ \frac{3\pi}{6} < \alpha < \pi $

$ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $

Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\alpha) = -0,8 $.

4. Теперь вычислим $ \sin(x) $. Так как $ \alpha = x - \frac{\pi}{6} $, то $ x = \alpha + \frac{\pi}{6} $.

Применим формулу синуса суммы: $ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) $.

$ \sin(x) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{6}) $.

5. Подставим известные значения: $ \sin(\alpha) = 0,6 $, $ \cos(\alpha) = -0,8 $, $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

$ \sin(x) = 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-0,8) \cdot \frac{1}{2} = 0,3\sqrt{3} - 0,4 $.

Ответ: $ 0,3\sqrt{3} - 0,4 $.

б)

По условию задачи дано: $ \cos(x + \frac{2\pi}{3}) = -0,8 $ и $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} $.

1. Введем замену: пусть $ \beta = x + \frac{2\pi}{3} $. Тогда $ \cos(\beta) = -0,8 $.

2. Найдем $ \sin(\beta) $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $:

$ \sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

Отсюда $ \sin(\beta) = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 $.

3. Чтобы определить знак $ \sin(\beta) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \beta $. Для этого используем данное неравенство для $ x $:

$ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} $

Прибавим $ \frac{2\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:

$ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} $

$ \frac{3\pi}{3} < \beta < \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} $

$ \pi < \beta < \frac{9\pi}{6} $

$ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $ \sin(\beta) = -0,6 $.

4. Теперь вычислим $ \cos(x) $. Так как $ \beta = x + \frac{2\pi}{3} $, то $ x = \beta - \frac{2\pi}{3} $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $.

$ \cos(x) = \cos(\beta - \frac{2\pi}{3}) = \cos(\beta)\cos(\frac{2\pi}{3}) + \sin(\beta)\sin(\frac{2\pi}{3}) $.

5. Подставим известные значения: $ \cos(\beta) = -0,8 $, $ \sin(\beta) = -0,6 $, $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $, $ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(x) = (-0,8) \cdot (-\frac{1}{2}) + (-0,6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,4 - 0,3\sqrt{3} $.

Ответ: $ 0,4 - 0,3\sqrt{3} $.