Номер 24.39, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.39. Докажите, что для любого действительного значения x справедливо неравенство:

a) $sin (5 + x) cos x < cos (5 + x) sin x;$

б) $cos (7 - 2x) cos 2x > sin (7 - 2x) sin 2x.$

а) Докажем неравенство $sin(5 + x) \cos x < \cos(5 + x) \sin x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$sin(5 + x) \cos x - \cos(5 + x) \sin x < 0$

Левая часть этого неравенства является формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае, пусть $\alpha = 5 + x$ и $\beta = x$. Тогда неравенство принимает вид:

$sin((5 + x) - x) < 0$

$sin(5) < 0$

Чтобы проверить истинность этого неравенства, определим знак $sin(5)$, где угол 5 задан в радианах. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$. Также $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол в 5 радиан находится в IV координатной четверти. В этой четверти синус имеет отрицательное значение, следовательно, неравенство $sin(5) < 0$ является верным.

Так как исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству, оно справедливо для любого действительного значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству $sin(5) < 0$, следовательно, оно справедливо для любого действительного значения $x$.

б) Докажем неравенство $\cos(7 - 2x) \cos 2x > \sin(7 - 2x) \sin 2x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\cos(7 - 2x) \cos 2x - \sin(7 - 2x) \sin 2x > 0$

Левая часть этого неравенства является формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае, пусть $\alpha = 7 - 2x$ и $\beta = 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$\cos((7 - 2x) + 2x) > 0$

$\cos(7) > 0$

Чтобы проверить истинность этого неравенства, определим знак $\cos(7)$, где угол 7 задан в радианах. Мы знаем, что $2\pi \approx 6.28$ и $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \approx 7.85$.

Поскольку $2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$, угол в 7 радиан находится в I координатной четверти (после полного оборота в $2\pi$). В этой четверти косинус имеет положительное значение, следовательно, неравенство $\cos(7) > 0$ является верным.

Так как исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству, оно справедливо для любого действительного значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству $\cos(7) > 0$, следовательно, оно справедливо для любого действительного значения $x$.