Номер 24.42, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.42. Сравните числа $a = \cos x \cos 2x$ и $b = \cos 3x$, если:

а) $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

б) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Для того чтобы сравнить числа $a = \cos x \cos 2x$ и $b = \cos 3x$, найдем знак их разности $a - b$.

Рассмотрим разность $a - b = \cos x \cos 2x - \cos 3x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическими формулами. Существует несколько способов упрощения. Рассмотрим один из них.

Используем формулу косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

Также используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим эти выражения в $a$ и $b$:

$a = \cos x (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^3 x - \cos x$.

Теперь найдем разность $a-b$:

$a - b = (2\cos^3 x - \cos x) - (4\cos^3 x - 3\cos x)$

$a - b = 2\cos^3 x - \cos x - 4\cos^3 x + 3\cos x$

$a - b = -2\cos^3 x + 2\cos x$

Вынесем за скобки общий множитель $2\cos x$:

$a - b = 2\cos x (1 - \cos^2 x)$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Таким образом, разность $a - b$ равна:

$a - b = 2\cos x \sin^2 x$

Теперь мы можем определить знак этой разности для заданных в условии промежутков.

а) если $0 < x < \frac{\pi}{2}$

В этом промежутке (I координатная четверть) значения синуса и косинуса положительны:

$\cos x > 0$

$\sin x > 0$, следовательно $\sin^2 x = (\sin x)^2 > 0$.

Так как все множители в выражении $2\cos x \sin^2 x$ положительны (2 > 0, $\cos x > 0$, $\sin^2 x > 0$), то и их произведение будет положительным.

$a - b > 0$, что означает $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) если $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

В этом промежутке (II координатная четверть) косинус отрицателен, а синус положителен:

$\cos x < 0$

$\sin x > 0$, следовательно $\sin^2 x > 0$.

В выражении $a - b = 2\cos x \sin^2 x$ множитель $2$ положителен, $\cos x$ отрицателен, а $\sin^2 x$ положителен. Произведение положительного, отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.

$a - b < 0$, что означает $a < b$.

Ответ: $a < b$.