Номер 24.35, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.35. Зная, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $,

вычислите:

a) $ \sin(\alpha - \beta) $;

б) $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для вычисления значений выражений нам необходимо сначала найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и заданные интервалы для углов.

1. Найдем $\cos \alpha$.Известно, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны.$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.Так как $\cos \alpha < 0$, получаем $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем $\sin \beta$.Известно, что $\cos \beta = -\frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это означает, что угол $\beta$ также находится во второй координатной четверти, где значения синуса положительны.$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.Так как $\sin \beta > 0$, получаем $\sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Теперь, имея все четыре значения ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$), мы можем вычислить требуемые выражения.

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.Подставляем найденные и данные значения:$\sin(\alpha - \beta) = (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) - (-\frac{3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = -\frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 17} + \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 17} = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{-60 + 24}{85} = -\frac{36}{85}$.

Ответ: $-\frac{36}{85}$.

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.Подставляем найденные и данные значения:$\cos(\alpha - \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) + (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 17} + \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 17} = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{45 + 32}{85} = \frac{77}{85}$.

Ответ: $\frac{77}{85}$.