Номер 24.29, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.29. Зная, что $cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

а) $\sin \left(t + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(t + \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t + \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin \left(t + \frac{3\pi}{2}\right)$.

По условию, угол $ t $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти $ \sin t > 0 $, а $ \cos t < 0 $.

Нам дано значение косинуса: $ \cos t = -\frac{5}{13} $.

Для дальнейших вычислений найдем значение $ \sin t $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Отсюда $ \sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как угол $ t $ принадлежит второй четверти, где синус положителен, выбираем значение со знаком плюс: $ \sin t = \frac{12}{13} $.

Теперь можем приступить к вычислению заданных выражений.

а) Вычислим $ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) $.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

$ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cos\frac{\pi}{6} + \cos t \sin\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения: $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

$ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{12\sqrt{3}}{26} - \frac{5}{26} = \frac{12\sqrt{3} - 5}{26} $.

Ответ: $ \frac{12\sqrt{3} - 5}{26} $.

б) Вычислим $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) $.

Применим формулу приведения: $ \cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin x $.

Следовательно, $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t $.

Так как мы уже нашли, что $ \sin t = \frac{12}{13} $, то $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $.

в) Вычислим $ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) $.

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

$ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cos\frac{\pi}{6} - \sin t \sin\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения:

$ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} = -\frac{12 + 5\sqrt{3}}{26} $.

Ответ: $ -\frac{12 + 5\sqrt{3}}{26} $.

г) Вычислим $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) $.

Применим формулу приведения: $ \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x $.

Следовательно, $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos t $.

Так как по условию $ \cos t = -\frac{5}{13} $, то $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = -\left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{5}{13} $.

Ответ: $ \frac{5}{13} $.