Страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.28. Зная, что $ \sin t = \frac{3}{5}, 0 < t < \frac{\pi}{2} $, вычислите:

а) $ \sin \left(\frac{\pi}{3} + t\right) $;

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right) $;

в) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) $;

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{3} + t\right) $.

Дано: $ \sin t = \frac{3}{5} $ и $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Это означает, что угол $t$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Для решения задачи нам понадобится значение $ \cos t $. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $.

Отсюда $ \cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

Поскольку угол $t$ находится в первой четверти ($ 0 < t < \frac{\pi}{2} $), косинус должен быть положительным. Следовательно, $ \cos t = \frac{4}{5} $.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $ \sin(\frac{\pi}{3} + t) $.

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\frac{\pi}{3} + t) = \sin\frac{\pi}{3} \cos t + \cos\frac{\pi}{3} \sin t $.

Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Подставим все известные значения:

$ \sin(\frac{\pi}{3} + t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{3}}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} $.

Ответ: $ \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $.

б) Вычислим $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) $.

Используем формулу приведения: $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin t $.

Подставляем известное значение $ \sin t $:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ -\frac{3}{5} $.

в) Вычислим $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) $.

Используем формулу приведения: $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos t $.

Подставляем найденное ранее значение $ \cos t $:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

г) Вычислим $ \cos(\frac{\pi}{3} + t) $.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

$ \cos(\frac{\pi}{3} + t) = \cos\frac{\pi}{3} \cos t - \sin\frac{\pi}{3} \sin t $.

Подставляем все известные значения:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $.

24.29. Зная, что $cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

а) $\sin \left(t + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(t + \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t + \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin \left(t + \frac{3\pi}{2}\right)$.

По условию, угол $ t $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти $ \sin t > 0 $, а $ \cos t < 0 $.

Нам дано значение косинуса: $ \cos t = -\frac{5}{13} $.

Для дальнейших вычислений найдем значение $ \sin t $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Отсюда $ \sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как угол $ t $ принадлежит второй четверти, где синус положителен, выбираем значение со знаком плюс: $ \sin t = \frac{12}{13} $.

Теперь можем приступить к вычислению заданных выражений.

а) Вычислим $ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) $.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

$ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cos\frac{\pi}{6} + \cos t \sin\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения: $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

$ \sin\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{12\sqrt{3}}{26} - \frac{5}{26} = \frac{12\sqrt{3} - 5}{26} $.

Ответ: $ \frac{12\sqrt{3} - 5}{26} $.

б) Вычислим $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) $.

Применим формулу приведения: $ \cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin x $.

Следовательно, $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t $.

Так как мы уже нашли, что $ \sin t = \frac{12}{13} $, то $ \cos\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $.

в) Вычислим $ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) $.

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

$ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cos\frac{\pi}{6} - \sin t \sin\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения:

$ \cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} = -\frac{12 + 5\sqrt{3}}{26} $.

Ответ: $ -\frac{12 + 5\sqrt{3}}{26} $.

г) Вычислим $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) $.

Применим формулу приведения: $ \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x $.

Следовательно, $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos t $.

Так как по условию $ \cos t = -\frac{5}{13} $, то $ \sin\left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = -\left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{5}{13} $.

Ответ: $ \frac{5}{13} $.

24.30. Зная, что $\sin \alpha = \frac{8}{17}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,

найдите значение выражения:

а) $\sin (\alpha + \beta)$;

б) $\cos (\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $cos(?)$ и $sin(?)$. Мы можем найти их, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.

1. Найдем $cos(?)$.
Известно, что $sin(?) = \frac{8}{17}$ и $0 < ? < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти косинус положителен. $cos^2(?) = 1 - sin^2(?) = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.
Так как $?$ находится в первой четверти, $cos(?) > 0$, следовательно $cos(?) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

2. Найдем $sin(?)$.
Известно, что $cos(?) = \frac{4}{5}$ и $0 < ? < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти синус положителен. $sin^2(?) = 1 - cos^2(?) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Так как $?$ находится в первой четверти, $sin(?) > 0$, следовательно $sin(?) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь мы можем найти значения заданных выражений.

а) Для нахождения $sin(? + ?)$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(? + ?) = sin(?)cos(?) + cos(?)sin(?)$.
Подставим известные и найденные значения: $sin(? + ?) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{32 + 45}{85} = \frac{77}{85}$.
Ответ: $\frac{77}{85}$.

б) Для нахождения $cos(? + ?)$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(? + ?) = cos(?)cos(?) - sin(?)sin(?)$.
Подставим известные и найденные значения: $cos(? + ?) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{60 - 24}{85} = \frac{36}{85}$.
Ответ: $\frac{36}{85}$.

24.31. Зная, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$,

найдите значение выражения:

a) $\sin (\alpha + \beta)$;

б) $\cos (\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $cos \alpha$ и $sin \beta$, которые мы найдем, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдем $cos \alpha$. Дано, что $sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку $cos \alpha < 0$, выбираем отрицательное значение корня: $cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем $sin \beta$. Дано, что $cos \beta = -\frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Угол $\beta$ также находится во второй координатной четверти, где синус положителен.

$sin^2 \beta = 1 - cos^2 \beta = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.

Поскольку $sin \beta > 0$, выбираем положительное значение корня: $sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения: $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $cos \alpha = -\frac{3}{5}$, $sin \beta = \frac{8}{17}$, $cos \beta = -\frac{15}{17}$.

a) sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы углов: $sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta$.

Подставляем значения:

$sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{15}{17}) + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} = -\frac{60 + 24}{85} = -\frac{84}{85}$.

Ответ: $-\frac{84}{85}$

б) cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы углов: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$.

Подставляем значения:

$cos(\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{45 - 32}{85} = \frac{13}{85}$.

Ответ: $\frac{13}{85}$

24.32. Зная, что $\sin \alpha = \frac{9}{41}$, $\sin \beta = -\frac{40}{41}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$,

найдите значение выражения:

a) $\sin (\alpha + \beta)$;

б) $\cos (\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $ \cos \alpha $ и $ \cos \beta $. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Нахождение $ \cos \alpha $

Дано, что $ \sin \alpha = \frac{9}{41} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \alpha $ находится в I четверти, где косинус положителен ($ \cos \alpha > 0 $).

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} $

Так как $ \cos \alpha > 0 $, то $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $.

2. Нахождение $ \cos \beta $

Дано, что $ \sin \beta = -\frac{40}{41} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $. Угол $ \beta $ находится в IV четверти, где косинус также положителен ($ \cos \beta > 0 $).

$ \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681} $

Так как $ \cos \beta > 0 $, то $ \cos \beta = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $.

Теперь мы можем вычислить значения заданных выражений.

а) Для нахождения $ \sin(\alpha + \beta) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Подставляем найденные и данные значения:

$ \sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{9}{41}\right) \cdot \left(\frac{9}{41}\right) + \left(\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81 - 1600}{1681} = -\frac{1519}{1681} $

Ответ: $ -\frac{1519}{1681} $

б) Для нахождения $ \cos(\alpha + \beta) $ используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

Подставляем найденные и данные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{40}{41}\right) \cdot \left(\frac{9}{41}\right) - \left(\frac{9}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{360}{1681} - \left(-\frac{360}{1681}\right) = \frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = \frac{720}{1681} $

Ответ: $ \frac{720}{1681} $

24.33. Зная, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - t\right)$;

б) $\cos\left(t - \frac{\pi}{2}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$;

г) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - t\right)$.

По условию $sin(t) = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.
Найдем $cos(t)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$:
$cos^2(t) = 1 - sin^2(t) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
$cos(t) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку $t$ находится во второй четверти, выбираем отрицательное значение: $cos(t) = -\frac{12}{13}$.

а) Вычислим $sin(\frac{\pi}{3} - t)$ по формуле синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:
$sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin(\frac{\pi}{3})cos(t) - cos(\frac{\pi}{3})sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12\sqrt{3}}{26} - \frac{5}{26} = -\frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}$.
Ответ: $-\frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}$.

б) Вычислим $cos(t - \frac{\pi}{2})$. Используя свойство четности косинуса и формулу приведения, получаем:
$cos(t - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - t)) = cos(\frac{\pi}{2} - t) = sin(t)$.
Подставляем известное значение $sin(t)$: $cos(t - \frac{\pi}{2}) = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

в) Вычислим $sin(\frac{\pi}{2} - t)$. По формуле приведения $sin(\frac{\pi}{2} - t) = cos(t)$.
Мы уже нашли, что $cos(t) = -\frac{12}{13}$.
Ответ: $-\frac{12}{13}$.

г) Вычислим $cos(\frac{\pi}{3} - t)$ по формуле косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:
$cos(\frac{\pi}{3} - t) = cos(\frac{\pi}{3})cos(t) + sin(\frac{\pi}{3})sin(t) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12}{26} + \frac{5\sqrt{3}}{26} = \frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$.

24.34. Зная, что $\cos t = \frac{3}{5}, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$, вычислите:

а) $\sin \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

г) $\cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$.

По условию известно, что $cos(t) = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти координатной окружности, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Найдем значение $sin(t)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$.

$sin^2(t) = 1 - cos^2(t) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как $t$ находится в IV четверти, $sin(t) < 0$, следовательно, $sin(t) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $sin(t - \frac{\pi}{6})$.

Используем формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

$sin(t - \frac{\pi}{6}) = sin(t)cos(\frac{\pi}{6}) - cos(t)sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим известные значения: $sin(t) = -\frac{4}{5}$, $cos(t) = \frac{3}{5}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$sin(t - \frac{\pi}{6}) = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б) Вычислим $sin(t - \frac{3\pi}{2})$.

Используем формулы приведения. Сначала воспользуемся нечетностью синуса: $sin(t - \frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2} - t)$.

Далее, по формуле приведения $sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -cos(t)$.

Следовательно, $sin(t - \frac{3\pi}{2}) = -(-cos(t)) = cos(t)$.

Подставляем известное значение $cos(t) = \frac{3}{5}$.

$sin(t - \frac{3\pi}{2}) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) Вычислим $cos(t - \frac{3\pi}{2})$.

Используем формулы приведения. Сначала воспользуемся четностью косинуса: $cos(t - \frac{3\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} - t)$.

Далее, по формуле приведения $cos(\frac{3\pi}{2} - t) = -sin(t)$.

Подставляем найденное значение $sin(t) = -\frac{4}{5}$.

$cos(t - \frac{3\pi}{2}) = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) Вычислим $cos(t - \frac{\pi}{6})$.

Используем формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(t - \frac{\pi}{6}) = cos(t)cos(\frac{\pi}{6}) + sin(t)sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим известные значения: $sin(t) = -\frac{4}{5}$, $cos(t) = \frac{3}{5}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$cos(t - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$.