Страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.28. a) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x;$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2|\sin x|.$

а) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Данное уравнение содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая, основанных на знаке выражения под модулем.

Случай 1: $\cos x \ge 0$

При этом условии $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:

$\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать $\sin x$ и $\cos x$:

$\sqrt{3} \sin x = 2 \cos x - \cos x$

$\sqrt{3} \sin x = \cos x$

Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3} \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для этого уравнения тангенса: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для углов в I и IV координатных четвертях. Из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ нам подходят только те, что соответствуют I четверти. Например, при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$, и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. При $k=1$ получаем $x = \frac{7\pi}{6}$, и $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что не удовлетворяет условию. Таким образом, подходят только значения с четными $k$. Заменив $k$ на $2k$, получаем первую серию решений:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$

При этом условии $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$-\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

$\sqrt{3} \sin x = 3 \cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (который по условию не равен нулю):

$\sqrt{3} \tan x = 3$

$\tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\cos x < 0$ (II и III координатные четверти). Из серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ нам подходят решения, соответствующие III четверти. Например, при $k=1$ получаем $x = \frac{4\pi}{3}$, и $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$, и $\cos(\frac{\pi}{3}) > 0$, что не подходит. Таким образом, подходят только значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем вторую серию решений:

$x = \frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2|\sin x|$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$

При этом условии $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2\sin x$

$-\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением):

$-\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ (или $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$ (I и II координатные четверти). Из серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ подходят решения, соответствующие II четверти. Например, при $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3}$, и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$, и $\sin(-\frac{\pi}{3}) < 0$, что не подходит. Таким образом, подходят значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем:

$x = -\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$

При этом условии $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x - 2\sin x$

$3\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x$:

$3\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x < 0$ (III и IV координатные четверти). Из серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ подходят решения, соответствующие III четверти. Например, при $k=1$, $x = \frac{7\pi}{6}$, и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} < 0$. При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$, и $\sin(\frac{\pi}{6}) > 0$, что не подходит. Таким образом, подходят значения с нечетными $k$. Заменив $k$ на $2k+1$, получаем:

$x = \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

23.29. a) $ \frac{\sin x + \cos x}{\cos 2x} = 0; $

б) $ \operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2; $

в) $ \frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin x} = 0; $

г) $ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos x. $

а)

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x + \cos x = 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы:
$\sin x + \cos x = 0$
Разделим обе части на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и уравнение $\sin x + \cos x = 0$ не выполняется ($ \pm 1 + 0 \neq 0 $). Следовательно, деление на $\cos x$ является корректным.
$\operatorname{tg} x + 1 = 0$
$\operatorname{tg} x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим выполнение условия $\cos 2x \neq 0$ для найденных корней.
Подставим $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ в выражение $\cos 2x$:
$\cos(2(-\frac{\pi}{4} + \pi k)) = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Так как для всех найденных значений $x$ знаменатель обращается в ноль, они не являются решениями исходного уравнения.

Ответ: решений нет.

б)

Исходное уравнение: $$ \operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2 $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
1. $\sin x \neq 0$ (для существования $\operatorname{ctg} x$). Отсюда $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \cos x \neq 0$ (знаменатель дроби). Отсюда $\cos x \neq -1$, что означает $x \neq \pi + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.
Первое условие ($\sin x \neq 0$) включает в себя второе, так как если $\sin x = 0$, то $\cos x = \pm 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, заменив $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$: $$ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} $$ $$ = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ = \frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} $$ Так как по ОДЗ $1 + \cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(1 + \cos x)$: $$ \frac{1}{\sin x} $$ Теперь исходное уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{\sin x} = 2 $$ $$ \sin x = \frac{1}{2} $$ Решения этого уравнения:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin x = \frac{1}{2} \neq 0$ и, следовательно, $\cos x = \pm\sqrt{1 - (1/2)^2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -1$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos^2 x + \cos x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы:
$\cos^2 x + \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos x + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \neq 0$. При $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\sin x$ принимает значения $1$ и $-1$, то есть $\sin x \neq 0$. Следовательно, эта серия корней является решением.
2) $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \neq 0$. При $x = \pi + 2\pi m$, $\sin x = \sin(\pi) = 0$. Это противоречит условию, поэтому данная серия корней не является решением.
Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos x $$ ОДЗ: $\cos x \neq 0$ (для существования $\operatorname{tg} x$), то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Преобразуем левую часть уравнения: $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \sin x \cos x $$ Это преобразование также можно выполнить с помощью формулы синуса двойного угла: $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \sin 2x$. Тогда левая часть равна $\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид: $$ \sin x \cos x = \cos x $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ \sin x \cos x - \cos x = 0 $$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (\sin x - 1) = 0 $$ Получаем два случая:
1) $\cos x = 0$. Эти значения $x$ не входят в ОДЗ, так как тангенс для них не определен.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$.
Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$, $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Эти значения также не входят в ОДЗ.
Поскольку все потенциальные решения исключаются областью допустимых значений, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

23.30. a) $\frac{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1}{\cos^2 x - \cos x} = 0$

б) $\frac{4 \sin^3 2x - 3 \sin 2x}{\cos 3x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0, \\ \cos^2 x - \cos x \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы. Сделаем замену $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Теперь решим второе условие системы (ОДЗ):

$\cos^2 x - \cos x \neq 0$

$\cos x (\cos x - 1) \neq 0$

Это означает, что $\cos x \neq 0$ и $\cos x \neq 1$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$

$\cos x \neq 1 \implies x \neq 2\pi p, p \in \mathbb{Z}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Корни серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ не удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$, так как $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Для корней серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно 0 и 1. Эти корни подходят.

Для корней серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно 0 и 1. Эти корни также подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 4\sin^3 2x - 3\sin 2x = 0, \\ \cos 3x \neq 0. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Вынесем минус за скобки в числителе: $-(3\sin 2x - 4\sin^3 2x) = 0$.

Применим формулу синуса тройного угла $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Уравнение принимает вид $-\sin(3 \cdot 2x) = 0$, или $\sin 6x = 0$.

Решим это уравнение:

$6x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим условие ОДЗ: $\cos 3x \neq 0$.

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Исключим из найденных решений те, которые не удовлетворяют ОДЗ. Для этого приравняем общие решения к недопустимым значениям:

$\frac{\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{k}{6} = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$

Умножим обе части на 6:

$k = 1 + 2n$

Это равенство показывает, что корень не удовлетворяет ОДЗ, если $k$ является нечетным числом. Следовательно, мы должны оставить только те решения, для которых $k$ — четное число.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = \frac{\pi (2m)}{6} = \frac{\pi m}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

23.31. Для каждого значения a решите уравнение:

а) $\frac{a \sin x - 1}{\sin x + \cos x} = 0;$

б) $\frac{a \cos x - 1}{\sin x - \cos x} = 0.$

а) $\frac{a \sin x - 1}{\sin x + \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a \sin x - 1 = 0 \\ \sin x + \cos x \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a \sin x = 1$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 1$, что неверно. Следовательно, решений нет.

2. Если $a \neq 0$, то $\sin x = \frac{1}{a}$.

Это уравнение имеет решения только при условии $|\frac{1}{a}| \le 1$, что эквивалентно $|a| \ge 1$. То есть, при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим второе условие системы: $\sin x + \cos x \neq 0$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Условие $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \neq 0$ означает, что $x + \frac{\pi}{4} \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Это условие нарушается, если $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Исключим из рассмотрения те значения параметра $a$, при которых это возможно.

$\sin x = \frac{1}{a} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = \pm\sqrt{2}$.

Рассмотрим эти случаи отдельно:

• При $a = \sqrt{2}$, уравнение $\sin x = \frac{1}{a}$ становится $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x + \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Следовательно, при $a=\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• При $a = -\sqrt{2}$, уравнение $\sin x = \frac{1}{a}$ становится $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x + \cos x \neq 0$.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Следовательно, при $a=-\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Обобщим результаты:

Ответ:

если $|a| < 1$, то корней нет;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $|a| \ge 1$ и $a \neq \pm\sqrt{2}$, то $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{a}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{a \cos x - 1}{\sin x - \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a \cos x - 1 = 0 \\ \sin x - \cos x \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a \cos x = 1$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 1$, что неверно. Следовательно, решений нет.

2. Если $a \neq 0$, то $\cos x = \frac{1}{a}$.

Это уравнение имеет решения только при условии $|\frac{1}{a}| \le 1$, что эквивалентно $|a| \ge 1$. То есть, при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим второе условие системы: $\sin x - \cos x \neq 0$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Условие $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) \neq 0$ означает, что $x - \frac{\pi}{4} \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Это условие нарушается, если $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Исключим из рассмотрения те значения параметра $a$, при которых это возможно.

$\cos x = \frac{1}{a} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = \pm\sqrt{2}$.

Рассмотрим эти случаи отдельно:

• При $a = \sqrt{2}$, уравнение $\cos x = \frac{1}{a}$ становится $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x - \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Эти корни не подходят.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Следовательно, при $a=\sqrt{2}$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• При $a = -\sqrt{2}$, уравнение $\cos x = \frac{1}{a}$ становится $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим их по условию $\sin x - \cos x \neq 0$.

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \neq 0$. Эти корни подходят.

Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$): $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$. Эти корни не подходят.

Следовательно, при $a=-\sqrt{2}$ решениями являются $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Обобщим результаты:

Ответ:

если $|a| < 1$, то корней нет;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

если $|a| \ge 1$ и $a \neq \pm\sqrt{2}$, то $x = \pm \arccos(\frac{1}{a}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

23.32. a) $x^2 - 2x \cos \pi x + 1 = 0$;

б) $x^2 - 2x \sin \frac{\pi x}{2} + 1 = 0$.

а) Запишем данное уравнение $x^2 - 2x \cos(\pi x) + 1 = 0$ и рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$, где коэффициент при $x$ зависит от самого $x$.
$x^2 - (2\cos(\pi x))x + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (-2\cos(\pi x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\cos^2(\pi x) - 4 = 4(\cos^2(\pi x) - 1)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, заменим $\cos^2(\pi x) - 1$ на $-\sin^2(\pi x)$:
$D = -4\sin^2(\pi x)$.
Для того чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.
Однако, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($\sin^2(\pi x) \ge 0$), выражение $-4\sin^2(\pi x)$ всегда будет неположительным, то есть $-4\sin^2(\pi x) \le 0$.
Единственный случай, когда оба условия ($D \ge 0$ и $D \le 0$) могут выполняться одновременно, это когда $D = 0$.
$D = 0 \implies -4\sin^2(\pi x) = 0 \implies \sin^2(\pi x) = 0 \implies \cos^2(\pi x) = 1$.
Это означает, что $\cos(\pi x) = 1$ или $\cos(\pi x) = -1$.
При $D=0$ квадратное уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. Для нашего уравнения:
$x = -\frac{-2\cos(\pi x)}{2 \cdot 1} = \cos(\pi x)$.
Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x = \cos(\pi x)$ и $\cos(\pi x) \in \{1, -1\}$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $\cos(\pi x) = 1$. Тогда из уравнения $x = \cos(\pi x)$ следует, что $x=1$. Выполним проверку: $\cos(\pi \cdot 1) = \cos(\pi) = -1$. Получаем $-1=1$, что является ложным равенством. Значит, $x=1$ не является решением.
2. Пусть $\cos(\pi x) = -1$. Тогда из уравнения $x = \cos(\pi x)$ следует, что $x=-1$. Выполним проверку: $\cos(\pi \cdot (-1)) = \cos(-\pi) = -1$. Получаем $-1=-1$, что является истинным равенством. Значит, $x=-1$ является решением.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = -1$.

б) Запишем данное уравнение $x^2 - 2x \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1 = 0$ и рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$.
$x^2 - \left(2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)x + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = \left(-2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 4 = 4\left(\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 1\right)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) - 1$ на $-\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)$:
$D = -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Уравнение имеет действительные корни только при $D \ge 0$.
Так как $\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) \ge 0$, то $D = -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) \le 0$.
Следовательно, действительные корни существуют только при $D = 0$.
$D = 0 \implies -4\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \implies \cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \implies \sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$.
Это означает, что $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$ или $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -1$.
При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$:
$x = -\frac{-2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{2 \cdot 1} = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ и $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \in \{1, -1\}$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 1$. Тогда из уравнения $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ следует, что $x=1$. Выполним проверку: $\sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Получаем $1=1$, что является истинным равенством. Значит, $x=1$ является решением.
2. Пусть $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -1$. Тогда из уравнения $x = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ следует, что $x=-1$. Выполним проверку: $\sin\left(\frac{\pi \cdot (-1)}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Получаем $-1=-1$, что является истинным равенством. Значит, $x=-1$ является решением.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = -1, x = 1$.

23.33. а) $cos^5 x + sin^4 x = 1$;

б) $cos^8 x + sin^3 x = 1$.

а) $ \cos^5 x + \sin^4 x = 1 $

Воспользуемся тем, что для любого действительного $x$ значения $ \sin x $ и $ \cos x $ находятся в диапазоне $ [-1, 1] $. Это позволяет нам сделать следующие оценки для слагаемых в левой части уравнения:

1. Сравним $ \cos^5 x $ и $ \cos^2 x $.Поскольку $ \cos x \in [-1, 1] $, то $ \cos^2 x \in [0, 1] $.Если $ \cos x \in [0, 1] $, то $ \cos^3 x \le 1 $, и умножив на неотрицательное $ \cos^2 x $, получим $ \cos^5 x = \cos^2 x \cdot \cos^3 x \le \cos^2 x $.Если $ \cos x \in [-1, 0) $, то $ \cos^5 x $ будет отрицательным, в то время как $ \cos^2 x $ — положительным, следовательно, $ \cos^5 x < \cos^2 x $.Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $ \cos^5 x \le \cos^2 x $. Равенство достигается, только если $ \cos^5 x = \cos^2 x \implies \cos^2 x(\cos^3 x - 1) = 0 $, что верно при $ \cos x = 0 $ или $ \cos x = 1 $.

2. Сравним $ \sin^4 x $ и $ \sin^2 x $.Так как $ \sin^2 x \in [0, 1] $, то возведение в квадрат не увеличит значение: $ (\sin^2 x)^2 \le \sin^2 x $, то есть $ \sin^4 x \le \sin^2 x $.Равенство $ \sin^4 x = \sin^2 x \implies \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 0 $ достигается при $ \sin^2 x = 0 $ (т.е. $ \sin x = 0 $) или $ \sin^2 x = 1 $ (т.е. $ \sin x = \pm 1 $).

Сложив два полученных неравенства, имеем:$ \cos^5 x + \sin^4 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, получаем:$ \cos^5 x + \sin^4 x \le 1 $

Наше исходное уравнение $ \cos^5 x + \sin^4 x = 1 $ представляет собой случай, когда в этом неравенстве достигается равенство. Это возможно только в том случае, если оба неравенства, которые мы складывали, одновременно обращаются в равенства. То есть должна выполняться система:

$ \begin{cases} \cos^5 x = \cos^2 x \\ \sin^4 x = \sin^2 x \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = 0 \text{ или } \cos x = 1 \\ \sin x = 0 \text{ или } \sin^2 x = 1 \end{cases} $

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $ \cos x = 1 $.Если $ \cos x = 1 $, то $ \sin x = 0 $. Эта пара значений удовлетворяет второму условию системы ($ \sin x = 0 $). Значит, все $x$, для которых $ \cos x = 1 $, являются решениями.$ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos x = 0 $.Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 $. Эта пара значений удовлетворяет второму условию системы ($ \sin^2 x = 1 $). Значит, все $x$, для которых $ \cos x = 0 $, являются решениями.$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^8 x + \sin^3 x = 1 $

Решим это уравнение методом оценок, аналогично предыдущему пункту.

1. Сравним $ \cos^8 x $ и $ \cos^2 x $.Поскольку $ \cos^2 x \in [0, 1] $, то $ (\cos^2 x)^4 \le \cos^2 x $, то есть $ \cos^8 x \le \cos^2 x $.Равенство $ \cos^8 x = \cos^2 x \implies \cos^2 x(1 - \cos^6 x) = 0 $ достигается при $ \cos^2 x = 0 $ (т.е. $ \cos x = 0 $) или $ \cos^2 x = 1 $ (т.е. $ \cos x = \pm 1 $).

2. Сравним $ \sin^3 x $ и $ \sin^2 x $.Если $ \sin x \in [0, 1] $, то $ \sin^3 x \le \sin^2 x $.Если $ \sin x \in [-1, 0) $, то $ \sin^3 x $ отрицателен, а $ \sin^2 x $ неотрицателен, поэтому $ \sin^3 x < \sin^2 x $.Следовательно, для всех $x$ выполняется неравенство $ \sin^3 x \le \sin^2 x $.Равенство $ \sin^3 x = \sin^2 x \implies \sin^2 x(\sin x - 1) = 0 $ достигается при $ \sin x = 0 $ или $ \sin x = 1 $.

Складывая эти два неравенства, получаем:$ \cos^8 x + \sin^3 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $С учетом основного тригонометрического тождества:$ \cos^8 x + \sin^3 x \le 1 $

В исходном уравнении левая часть равна 1, значит, в неравенстве достигается знак равенства. Это возможно, только если оба исходных неравенства являются равенствами. Составим систему условий:

$ \begin{cases} \cos^8 x = \cos^2 x \\ \sin^3 x = \sin^2 x \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = 0 \text{ или } \cos x = \pm 1 \\ \sin x = 0 \text{ или } \sin x = 1 \end{cases} $

Проверим совместимость этих условий, используя тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Случай 1: $ \sin x = 0 $.Тогда $ \cos^2 x = 1 - 0 = 1 $, откуда $ \cos x = \pm 1 $. Это соответствует одному из условий для косинуса. Следовательно, все $x$, для которых $ \sin x = 0 $, являются решениями.$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \sin x = 1 $.Тогда $ \cos^2 x = 1 - 1 = 0 $, откуда $ \cos x = 0 $. Это соответствует одному из условий для косинуса. Следовательно, все $x$, для которых $ \sin x = 1 $, являются решениями.$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

23.34. a) $3\sin^2 \frac{x}{3} + 5\sin^2 x = 8;$

б) $\cos^2 2x - 2\cos^3 3x = 3.$

а) $3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x = 8$

Рассмотрим левую часть уравнения. Нам известно, что область значений функции синус в квадрате есть отрезок $[0, 1]$. То есть, для любого действительного угла $\theta$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2\theta \le 1$.

Следовательно, мы можем оценить каждое слагаемое в левой части уравнения:
$0 \le \sin^2\frac{x}{3} \le 1 \implies 0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} \le 3$
$0 \le \sin^2x \le 1 \implies 0 \le 5\sin^2x \le 5$

Сложив эти два неравенства, получим оценку для всей левой части:
$0 + 0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x \le 3 + 5$
$0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x \le 8$

Исходное уравнение $3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x = 8$ может иметь решение только в том случае, когда левая часть достигает своего максимального значения, равного 8. Это возможно, только если оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения.

Таким образом, мы приходим к системе уравнений:
$\begin{cases} 3\sin^2\frac{x}{3} = 3 \\ 5\sin^2x = 5 \end{cases}$

Упростим эту систему:
$\begin{cases} \sin^2\frac{x}{3} = 1 \\ \sin^2x = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение по отдельности.
1) $\sin^2\frac{x}{3} = 1$
Это равносильно $\sin\frac{x}{3} = \pm 1$.
Это означает, что $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^2x = 1$
Это равносильно $\sin x = \pm 1$.
Это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим наборам решений. Для этого приравняем два выражения для $x$:
$\frac{3\pi}{2} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{3}{2} + 3n = \frac{1}{2} + k$
$k = 3n + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
$k = 3n + 1$

Поскольку для любого целого $n$ значение $k = 3n + 1$ также будет целым, то система имеет решения. Мы можем подставить это выражение для $k$ в одну из серий решений, чтобы найти общие корни. Например, подставим в $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi(3n + 1) = \frac{\pi}{2} + 3\pi n + \pi = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.
Это совпадает с первой серией решений.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^22x - 2\cos^33x = 3$

Перепишем уравнение в виде:
$\cos^22x = 3 + 2\cos^33x$

Оценим левую и правую части уравнения.

Для левой части:
Нам известно, что для любого действительного угла $\theta$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2\theta \le 1$.
Следовательно, $0 \le \cos^22x \le 1$.

Для правой части:
Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos3x \le 1$.
Возведя в куб, получим: $-1 \le \cos^33x \le 1$.
Умножим на 2: $-2 \le 2\cos^33x \le 2$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 2 \le 3 + 2\cos^33x \le 3 + 2$
$1 \le 3 + 2\cos^33x \le 5$.

Итак, мы имеем уравнение $\cos^22x = 3 + 2\cos^33x$, в котором левая часть принадлежит отрезку $[0, 1]$, а правая часть принадлежит отрезку $[1, 5]$.
Равенство возможно только в том случае, если обе части равны единственному общему значению, которое они могут принимать, — числу 1.

Это приводит нас к системе уравнений:
$\begin{cases} \cos^22x = 1 \\ 3 + 2\cos^33x = 1 \end{cases}$

Решим эту систему.
1) Из первого уравнения $\cos^22x = 1$ следует, что $\cos2x = \pm 1$.
Это равносильно тому, что $\sin2x = 0$.
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Из второго уравнения $3 + 2\cos^33x = 1$ получаем:
$2\cos^33x = 1 - 3$
$2\cos^33x = -2$
$\cos^33x = -1$
$\cos3x = -1$
$3x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем общие решения, приравняв два выражения для $x$:
$\frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{n}{2} = \frac{1}{3} + \frac{2k}{3}$
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$3n = 2 + 4k$
$3n - 4k = 2$

Мы получили линейное диофантово уравнение относительно целых чисел $n$ и $k$. Найдем его решение.
Выразим $n$: $3n = 4k + 2 \implies n = \frac{4k+2}{3}$.
Поскольку $n$ должно быть целым, $4k+2$ должно делиться на 3.
$4k+2 = (3k+k) + 2 = 3k + (k+2)$.
Выражение $3k$ делится на 3, значит, и $(k+2)$ должно делиться на 3.
$k+2 = 3m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$k = 3m - 2$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим найденное выражение для $k$ в формулу для $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (3m-2)}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi m - 4\pi}{3} = \frac{\pi + 6\pi m - 4\pi}{3} = \frac{6\pi m - 3\pi}{3} = 2\pi m - \pi$.
$x = -\pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Так как $m$ пробегает все целые числа, то это то же самое, что и $x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

23.35. a) $2 \sin\left(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 5;$

б) $\sin\frac{x}{4} + 2 \cos\frac{x - 2\pi}{3} = 3.$

а) Рассмотрим уравнение $2\sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) - 3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 5$.
Данное уравнение можно решить методом оценки. Область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно:
$-1 \le \sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) \le 1$, что означает $-2 \le 2\sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) \le 2$.
$-1 \le \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$, что означает $-3 \le -3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 3$.
Сумма левой части уравнения может достигать максимального значения, только если оба слагаемых принимают свои максимальные значения одновременно. Максимальное значение левой части равно $2 + 3 = 5$.
Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \sin(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6}) = 1 \\ \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = -1 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{3\pi + \pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{2}{3}x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Решим второе уравнение:
$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем общие решения, приравняв выражения для $x$:
$\pi + 3\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi k$
Разделим обе части на $\pi$:
$1 + 3n = \frac{1}{3} + k$
$k = 3n + 1 - \frac{1}{3}$
$k = 3n + \frac{2}{3}$
Поскольку $n$ — целое число, $3n$ также является целым числом. Однако $3n + \frac{2}{3}$ не может быть целым числом, в то время как $k$ по определению является целым. Следовательно, данное равенство невозможно ни при каких целых $n$ и $k$. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Рассмотрим уравнение $\sin\frac{x}{4} + 2\cos\frac{x - 2\pi}{3} = 3$.
Применим метод оценки, как и в предыдущем пункте.
$-1 \le \sin\frac{x}{4} \le 1$
$-1 \le \cos\frac{x - 2\pi}{3} \le 1$, что означает $-2 \le 2\cos\frac{x - 2\pi}{3} \le 2$.
Сумма левой части уравнения может быть равна 3 только в том случае, если оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения. Максимальное значение левой части равно $1 + 2 = 3$.
Следовательно, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \sin\frac{x}{4} = 1 \\ \cos\frac{x - 2\pi}{3} = 1 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Решим второе уравнение:
$\frac{x - 2\pi}{3} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x - 2\pi = 6\pi k$
$x = 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем общие решения, приравняв полученные выражения для $x$:
$2\pi + 8\pi n = 2\pi + 6\pi k$
$8\pi n = 6\pi k$
Разделим обе части на $2\pi$:
$4n = 3k$
Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, то равенство возможно, если $n$ кратно 3, а $k$ кратно 4. То есть, $n = 3m$ и $k = 4m$ для некоторого целого числа $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим $n = 3m$ в первое решение для $x$:
$x = 2\pi + 8\pi (3m) = 2\pi + 24\pi m$
(Подстановка $k = 4m$ во второе решение даст тот же результат: $x = 2\pi + 6\pi (4m) = 2\pi + 24\pi m$).
Ответ: $x = 2\pi + 24\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

23.36. а) $\sqrt{5 - 2 \sin x} = 6 \sin x - 1;$

б) $\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0,5.$

а) $\sqrt{5 - 2 \sin x} = 6 \sin x - 1$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от $-1$ до $1$, то $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{5 - 2t} = 6t - 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$.

1. По-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - 2t \ge 0$
$5 \ge 2t$
$t \le 2.5$

2. Во-вторых, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня:
$6t - 1 \ge 0$
$6t \ge 1$
$t \ge \frac{1}{6}$

Объединяя все условия для $t$ ($-1 \le t \le 1$, $t \le 2.5$ и $t \ge \frac{1}{6}$), получаем итоговое ограничение: $\frac{1}{6} \le t \le 1$.

Теперь решим уравнение $\sqrt{5 - 2t} = 6t - 1$. Возведем обе части в квадрат:

$5 - 2t = (6t - 1)^2$

$5 - 2t = 36t^2 - 12t + 1$

$36t^2 - 10t - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$18t^2 - 5t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 18} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $\frac{1}{6} \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -\frac{2}{9}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{2}{9} < \frac{1}{6}$. Это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0.5$

Введем замену переменной. Пусть $y = \cos x$. Так как область значений функции косинус от $-1$ до $1$, то $-1 \le y \le 1$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{2 + 4y} = 3y + 0.5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 + 4y \ge 0$
$4y \ge -2$
$y \ge -0.5$

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$3y + 0.5 \ge 0$
$3y \ge -0.5$
$y \ge -\frac{0.5}{3} = -\frac{1}{6}$

Объединяя все условия для $y$ ($-1 \le y \le 1$, $y \ge -0.5$ и $y \ge -\frac{1}{6}$), получаем итоговое ограничение: $-\frac{1}{6} \le y \le 1$.

Решим уравнение $\sqrt{2 + 4y} = 3y + 0.5$. Возведем обе части в квадрат:

$2 + 4y = (3y + 0.5)^2$

$2 + 4y = 9y^2 + 2 \cdot 3y \cdot 0.5 + (0.5)^2$

$2 + 4y = 9y^2 + 3y + 0.25$

$9y^2 - y - 1.75 = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$36y^2 - 4y - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-7) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 32}{2 \cdot 36} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 32}{2 \cdot 36} = \frac{-28}{72} = -\frac{7}{18}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $-\frac{1}{6} \le y \le 1$.

Корень $y_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $y_2 = -\frac{7}{18}$ не удовлетворяет условию. Сравним $-\frac{7}{18}$ и $-\frac{1}{6} = -\frac{3}{18}$. Так как $-7 < -3$, то $-\frac{7}{18} < -\frac{3}{18}$. Значит, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = \frac{1}{2}$:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

23.37. a) $\sqrt{3} \sin x - \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = 0;$

б) $\cos x + \sqrt{\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x} = 0.$

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \sin x - \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = 0 $.
Перенесем радикал в правую часть уравнения, чтобы изолировать его:$ \sqrt{2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x} = \sqrt{3} \sin x $.
Поскольку значение арифметического квадратного корня по определению неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на возможные решения:$ \sqrt{3} \sin x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \ge 0 $.
При выполнении этого условия выражение под корнем будет равно квадрату правой части, то есть $ (\sqrt{3} \sin x)^2 = 3 \sin^2 x $, что всегда неотрицательно. Таким образом, дополнительной проверки для подкоренного выражения не требуется.
Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $ \sin x \ge 0 $:$ 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x $.
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные члены:$ 3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Уравнение принимает вид $ 1 + 0 - 0 = 1 \ne 0 $, значит $ \cos x \ne 0 $. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \tan x $. Сделаем замену $ t = \tan x $, получим $ t^2 + 2t - 3 = 0 $.По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -3 $.
Возвращаемся к переменной $ x $ и получаем две совокупности решений:
1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие условию $ \sin x \ge 0 $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $:
При четных $ n $ (например, $n=2m, m \in \mathbb{Z}$), $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m $. Эти углы находятся в первой координатной четверти, где $ \sin x > 0 $. Эти корни подходят.
При нечетных $ n $ (например, $n=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), $ x = \frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m $. Эти углы находятся в третьей четверти, где $ \sin x < 0 $. Эти корни не подходят.
Для серии $ x = -\arctan(3) + \pi k $:
Угол $ -\arctan(3) $ находится в четвертой четверти.
При четных $ k $ (например, $k=2m, m \in \mathbb{Z}$), $ x = -\arctan(3) + 2\pi m $. Эти углы находятся в четвертой четверти, где $ \sin x < 0 $. Эти корни не подходят.
При нечетных $ k $ (например, $k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), $ x = -\arctan(3) + \pi(2m+1) = \pi - \arctan(3) + 2\pi m $. Эти углы находятся во второй четверти, где $ \sin x > 0 $. Эти корни подходят.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = \pi - \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \cos x + \sqrt{\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x} = 0 $.
Заметим, что выражение под знаком корня является полным квадратом разности:$ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = (\sin x)^2 - 2(\sin x)(2 \cos x) + (2 \cos x)^2 = (\sin x - 2 \cos x)^2 $.
Подставим это выражение обратно в уравнение:$ \cos x + \sqrt{(\sin x - 2 \cos x)^2} = 0 $.
Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, уравнение принимает вид:$ \cos x + |\sin x - 2 \cos x| = 0 $.
Изолируем модуль:$ |\sin x - 2 \cos x| = -\cos x $.
Из этого равенства следует, что его правая часть должна быть неотрицательной (так как модуль всегда неотрицателен): $ -\cos x \ge 0 $, что равносильно $ \cos x \le 0 $. Это означает, что решения могут находиться только во второй или третьей координатных четвертях.
Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая.
Случай 1: $ \sin x - 2 \cos x \ge 0 $.
В этом случае уравнение принимает вид: $ \sin x - 2 \cos x = -\cos x $, откуда $ \sin x = \cos x $.
Если $ \cos x \ne 0 $, делим обе части на $ \cos x $ и получаем $ \tan x = 1 $. Решения этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Теперь проверим выполнение условий для этой серии решений.
1. $ \cos x \le 0 $. Это условие выполняется для углов во второй и третьей четвертях. Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $ этому условию удовлетворяют только углы в третьей четверти, то есть $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
2. $ \sin x - 2 \cos x \ge 0 $. Проверим это для $ x = \frac{5\pi}{4} $:$ \sin(\frac{5\pi}{4}) - 2\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $, условие выполняется.
Следовательно, серия $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ является решением.
Случай 2: $ \sin x - 2 \cos x < 0 $.
В этом случае уравнение принимает вид: $ -(\sin x - 2 \cos x) = -\cos x $, откуда $ -\sin x + 2\cos x = -\cos x $, что приводит к $ \sin x = 3\cos x $.
Разделив на $ \cos x \ne 0 $, получаем $ \tan x = 3 $. Решения этого уравнения: $ x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Проверим выполнение условий для этой серии.
1. $ \cos x \le 0 $. Угол $ \arctan(3) $ находится в первой четверти. Условие $ \cos x \le 0 $ будет выполняться, когда угол находится в третьей четверти, то есть для $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
2. $ \sin x - 2 \cos x < 0 $. Проверим это для $ x = \pi + \arctan(3) $. Пусть $ \alpha = \arctan(3) $. Тогда $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha $ и $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $.
Выражение $ \sin x - 2 \cos x $ становится $ -\sin\alpha - 2(-\cos\alpha) = 2\cos\alpha - \sin\alpha $.
Так как $ \tan\alpha = 3 $, то $ \sin\alpha = 3\cos\alpha $. Подставим это: $ 2\cos\alpha - 3\cos\alpha = -\cos\alpha $.
Поскольку $ \alpha = \arctan(3) $ находится в I четверти, $ \cos\alpha > 0 $, и, следовательно, $ -\cos\alpha < 0 $. Условие выполнено.
Следовательно, серия $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ также является решением.
Ответ: $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = \pi + \arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

23.38. a) $\sqrt{3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} = 1 - \sin x;$

б) $\sqrt{2 \cos 4x - \sin^2 x - 2} = 1 + \cos x.$

а) $\sqrt{3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} = 1 - \sin x$

Решение этого уравнения начнем с анализа области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит квадратный корень, поэтому должны выполняться два условия:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $1 - \sin x \ge 0$.

Рассмотрим первое условие. Мы знаем, что область значений функции синус – $[-1, 1]$, а область значений квадрата косинуса – $[0, 1]$. Оценим левую часть неравенства, найдя ее максимальное возможное значение:

Максимальное значение $\sin 5x$ равно $1$, значит $3 \sin 5x \le 3$.

Минимальное значение $\cos^2 x$ равно $0$, значит $-\cos^2 x \le 0$.

Следовательно, максимальное значение всего выражения под корнем:

$3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 \le 3 \cdot 1 - 0 - 3 = 0$.

Таким образом, мы получили, что выражение $3 \sin 5x - \cos^2 x - 3$ всегда меньше или равно нулю. С другой стороны, из ОДЗ это же выражение должно быть больше или равно нулю. Единственная возможность, при которой оба условия выполняются одновременно, — это когда выражение равно нулю:

$3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 = 0$.

Если подкоренное выражение равно нулю, то и вся левая часть уравнения равна нулю. Следовательно, и правая часть должна быть равна нулю:

$1 - \sin x = 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 3 \sin 5x - \cos^2 x - 3 = 0 \\ 1 - \sin x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим:

$\sin x = 1$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим $\sin x = 1$ в первое уравнение системы. Сначала найдем $\cos^2 x$ из основного тригонометрического тождества: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 1^2 = 0$.

Подставляем $\cos^2 x = 0$ в первое уравнение:

$3 \sin 5x - 0 - 3 = 0$

$3 \sin 5x = 3$

$\sin 5x = 1$.

Теперь нужно проверить, выполняются ли оба условия ($\sin x = 1$ и $\sin 5x = 1$) для найденных значений $x$. Подставим $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ в выражение $\sin 5x$:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k\right)$.

Поскольку $10\pi k$ является целым числом полных оборотов ($5k \cdot 2\pi$), его можно отбросить при вычислении синуса:

$\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 5x = 1$ выполняется. Следовательно, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $\sin x = 1$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2 \cos 4x - \sin^2 x - 2} = 1 + \cos x$

Как и в предыдущем задании, определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $1 + \cos x \ge 0$. (Это условие выполняется всегда, так как $\cos x \ge -1$).

Рассмотрим первое условие. Область значений косинуса – $[-1, 1]$, а квадрата синуса – $[0, 1]$. Оценим выражение под корнем, найдя его максимальное значение:

Максимальное значение $\cos 4x$ равно $1$, значит $2 \cos 4x \le 2$.

Минимальное значение $\sin^2 x$ равно $0$, значит $-\sin^2 x \le 0$.

Следовательно, максимальное значение всего выражения:

$2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 \le 2 \cdot 1 - 0 - 2 = 0$.

Выражение $2 \cos 4x - \sin^2 x - 2$ всегда меньше или равно нулю. Согласно ОДЗ, оно должно быть больше или равно нулю. Это возможно только в том случае, когда оно равно нулю:

$2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 = 0$.

Если выражение под корнем равно нулю, то левая часть уравнения равна нулю. Тогда и правая часть должна быть равна нулю:

$1 + \cos x = 0$.

Исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 2 \cos 4x - \sin^2 x - 2 = 0 \\ 1 + \cos x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим:

$\cos x = -1$.

Решения этого уравнения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения $x$ первому уравнению системы. Если $\cos x = -1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Подставим $\sin^2 x = 0$ в первое уравнение:

$2 \cos 4x - 0 - 2 = 0$

$2 \cos 4x = 2$

$\cos 4x = 1$.

Проверим, выполняется ли условие $\cos 4x = 1$ для найденных $x = \pi + 2\pi k$:

$\cos(4x) = \cos\left(4(\pi + 2\pi k)\right) = \cos(4\pi + 8\pi k)$.

Так как $4\pi$ и $8\pi k$ являются целыми кратными периода $2\pi$ для функции косинуса, то:

$\cos(4\pi + 8\pi k) = \cos(0) = 1$.

Условие $\cos 4x = 1$ выполняется. Значит, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $\cos x = -1$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

23.39. Решите неравенство:

a) $4 \sin x \cos x - 1 > 2 \sin x - 2 \cos x$;

б) $1 + 2 \sin x \ge 4 \sin x \cos x + 2 \cos x$.

a)

Исходное неравенство: $4 \sin x \cos x - 1 > 2 \sin x - 2 \cos x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4 \sin x \cos x - 2 \sin x + 2 \cos x - 1 > 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(4 \sin x \cos x - 2 \sin x) + (2 \cos x - 1) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2 \sin x (2 \cos x - 1) + 1 (2 \cos x - 1) > 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2 \cos x - 1)$ за скобки:

$(2 \sin x + 1)(2 \cos x - 1) > 0$

Произведение двух выражений положительно, если оба выражения одного знака (оба положительны или оба отрицательны). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба множителя положительны.

$\begin{cases} 2 \sin x + 1 > 0 \\ 2 \cos x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > -1/2 \\ \cos x > 1/2 \end{cases}$

Используя тригонометрическую окружность, найдем пересечение этих условий. Условие $\cos x > 1/2$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$. Условие $\sin x > -1/2$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$. Пересечением этих интервалов является $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя отрицательны.

$\begin{cases} 2 \sin x + 1 < 0 \\ 2 \cos x - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x < -1/2 \\ \cos x < 1/2 \end{cases}$

Условие $\cos x < 1/2$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$. Условие $\sin x < -1/2$ выполняется для $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$. Пересечением этих интервалов является $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное неравенство: $1 + 2 \sin x \ge 4 \sin x \cos x + 2 \cos x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$1 + 2 \sin x - 4 \sin x \cos x - 2 \cos x \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 - 2 \cos x) + (2 \sin x - 4 \sin x \cos x) \ge 0$

Вынесем общие множители:

$(1 - 2 \cos x) + 2 \sin x (1 - 2 \cos x) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(1 - 2 \cos x)$ за скобки:

$(1 + 2 \sin x)(1 - 2 \cos x) \ge 0$

Произведение двух выражений неотрицательно, если оба выражения имеют одинаковый знак или одно из них равно нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

$\begin{cases} 1 + 2 \sin x \ge 0 \\ 1 - 2 \cos x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \ge -1/2 \\ \cos x \le 1/2 \end{cases}$

Используя тригонометрическую окружность, найдем пересечение. Условие $\sin x \ge -1/2$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$. Условие $\cos x \le 1/2$ выполняется для $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$. Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

$\begin{cases} 1 + 2 \sin x \le 0 \\ 1 - 2 \cos x \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \le -1/2 \\ \cos x \ge 1/2 \end{cases}$

Условие $\sin x \le -1/2$ выполняется для $x \in [\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$. Условие $\cos x \ge 1/2$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$. Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n] \cup [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.