Номер 23.39, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.39. Решите неравенство:

a) $4 \sin x \cos x - 1 > 2 \sin x - 2 \cos x$;

б) $1 + 2 \sin x \ge 4 \sin x \cos x + 2 \cos x$.

a)

Исходное неравенство: $4 \sin x \cos x - 1 > 2 \sin x - 2 \cos x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4 \sin x \cos x - 2 \sin x + 2 \cos x - 1 > 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(4 \sin x \cos x - 2 \sin x) + (2 \cos x - 1) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2 \sin x (2 \cos x - 1) + 1 (2 \cos x - 1) > 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2 \cos x - 1)$ за скобки:

$(2 \sin x + 1)(2 \cos x - 1) > 0$

Произведение двух выражений положительно, если оба выражения одного знака (оба положительны или оба отрицательны). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба множителя положительны.

$\begin{cases} 2 \sin x + 1 > 0 \\ 2 \cos x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > -1/2 \\ \cos x > 1/2 \end{cases}$

Используя тригонометрическую окружность, найдем пересечение этих условий. Условие $\cos x > 1/2$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$. Условие $\sin x > -1/2$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$. Пересечением этих интервалов является $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя отрицательны.

$\begin{cases} 2 \sin x + 1 < 0 \\ 2 \cos x - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x < -1/2 \\ \cos x < 1/2 \end{cases}$

Условие $\cos x < 1/2$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$. Условие $\sin x < -1/2$ выполняется для $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$. Пересечением этих интервалов является $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное неравенство: $1 + 2 \sin x \ge 4 \sin x \cos x + 2 \cos x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$1 + 2 \sin x - 4 \sin x \cos x - 2 \cos x \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 - 2 \cos x) + (2 \sin x - 4 \sin x \cos x) \ge 0$

Вынесем общие множители:

$(1 - 2 \cos x) + 2 \sin x (1 - 2 \cos x) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(1 - 2 \cos x)$ за скобки:

$(1 + 2 \sin x)(1 - 2 \cos x) \ge 0$

Произведение двух выражений неотрицательно, если оба выражения имеют одинаковый знак или одно из них равно нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

$\begin{cases} 1 + 2 \sin x \ge 0 \\ 1 - 2 \cos x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \ge -1/2 \\ \cos x \le 1/2 \end{cases}$

Используя тригонометрическую окружность, найдем пересечение. Условие $\sin x \ge -1/2$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$. Условие $\cos x \le 1/2$ выполняется для $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$. Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

$\begin{cases} 1 + 2 \sin x \le 0 \\ 1 - 2 \cos x \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \le -1/2 \\ \cos x \ge 1/2 \end{cases}$

Условие $\sin x \le -1/2$ выполняется для $x \in [\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$. Условие $\cos x \ge 1/2$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$. Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n] \cup [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.