Номер 23.34, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.34. a) $3\sin^2 \frac{x}{3} + 5\sin^2 x = 8;$

б) $\cos^2 2x - 2\cos^3 3x = 3.$

а) $3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x = 8$

Рассмотрим левую часть уравнения. Нам известно, что область значений функции синус в квадрате есть отрезок $[0, 1]$. То есть, для любого действительного угла $\theta$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2\theta \le 1$.

Следовательно, мы можем оценить каждое слагаемое в левой части уравнения:
$0 \le \sin^2\frac{x}{3} \le 1 \implies 0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} \le 3$
$0 \le \sin^2x \le 1 \implies 0 \le 5\sin^2x \le 5$

Сложив эти два неравенства, получим оценку для всей левой части:
$0 + 0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x \le 3 + 5$
$0 \le 3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x \le 8$

Исходное уравнение $3\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin^2x = 8$ может иметь решение только в том случае, когда левая часть достигает своего максимального значения, равного 8. Это возможно, только если оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения.

Таким образом, мы приходим к системе уравнений:
$\begin{cases} 3\sin^2\frac{x}{3} = 3 \\ 5\sin^2x = 5 \end{cases}$

Упростим эту систему:
$\begin{cases} \sin^2\frac{x}{3} = 1 \\ \sin^2x = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение по отдельности.
1) $\sin^2\frac{x}{3} = 1$
Это равносильно $\sin\frac{x}{3} = \pm 1$.
Это означает, что $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^2x = 1$
Это равносильно $\sin x = \pm 1$.
Это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим наборам решений. Для этого приравняем два выражения для $x$:
$\frac{3\pi}{2} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{3}{2} + 3n = \frac{1}{2} + k$
$k = 3n + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
$k = 3n + 1$

Поскольку для любого целого $n$ значение $k = 3n + 1$ также будет целым, то система имеет решения. Мы можем подставить это выражение для $k$ в одну из серий решений, чтобы найти общие корни. Например, подставим в $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi(3n + 1) = \frac{\pi}{2} + 3\pi n + \pi = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.
Это совпадает с первой серией решений.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^22x - 2\cos^33x = 3$

Перепишем уравнение в виде:
$\cos^22x = 3 + 2\cos^33x$

Оценим левую и правую части уравнения.

Для левой части:
Нам известно, что для любого действительного угла $\theta$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2\theta \le 1$.
Следовательно, $0 \le \cos^22x \le 1$.

Для правой части:
Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos3x \le 1$.
Возведя в куб, получим: $-1 \le \cos^33x \le 1$.
Умножим на 2: $-2 \le 2\cos^33x \le 2$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 2 \le 3 + 2\cos^33x \le 3 + 2$
$1 \le 3 + 2\cos^33x \le 5$.

Итак, мы имеем уравнение $\cos^22x = 3 + 2\cos^33x$, в котором левая часть принадлежит отрезку $[0, 1]$, а правая часть принадлежит отрезку $[1, 5]$.
Равенство возможно только в том случае, если обе части равны единственному общему значению, которое они могут принимать, — числу 1.

Это приводит нас к системе уравнений:
$\begin{cases} \cos^22x = 1 \\ 3 + 2\cos^33x = 1 \end{cases}$

Решим эту систему.
1) Из первого уравнения $\cos^22x = 1$ следует, что $\cos2x = \pm 1$.
Это равносильно тому, что $\sin2x = 0$.
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Из второго уравнения $3 + 2\cos^33x = 1$ получаем:
$2\cos^33x = 1 - 3$
$2\cos^33x = -2$
$\cos^33x = -1$
$\cos3x = -1$
$3x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем общие решения, приравняв два выражения для $x$:
$\frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{n}{2} = \frac{1}{3} + \frac{2k}{3}$
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$3n = 2 + 4k$
$3n - 4k = 2$

Мы получили линейное диофантово уравнение относительно целых чисел $n$ и $k$. Найдем его решение.
Выразим $n$: $3n = 4k + 2 \implies n = \frac{4k+2}{3}$.
Поскольку $n$ должно быть целым, $4k+2$ должно делиться на 3.
$4k+2 = (3k+k) + 2 = 3k + (k+2)$.
Выражение $3k$ делится на 3, значит, и $(k+2)$ должно делиться на 3.
$k+2 = 3m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$k = 3m - 2$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим найденное выражение для $k$ в формулу для $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (3m-2)}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi m - 4\pi}{3} = \frac{\pi + 6\pi m - 4\pi}{3} = \frac{6\pi m - 3\pi}{3} = 2\pi m - \pi$.
$x = -\pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Так как $m$ пробегает все целые числа, то это то же самое, что и $x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.