Номер 23.29, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.29. a) $ \frac{\sin x + \cos x}{\cos 2x} = 0; $

б) $ \operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2; $

в) $ \frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin x} = 0; $

г) $ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos x. $

а)

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x + \cos x = 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы:
$\sin x + \cos x = 0$
Разделим обе части на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и уравнение $\sin x + \cos x = 0$ не выполняется ($ \pm 1 + 0 \neq 0 $). Следовательно, деление на $\cos x$ является корректным.
$\operatorname{tg} x + 1 = 0$
$\operatorname{tg} x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим выполнение условия $\cos 2x \neq 0$ для найденных корней.
Подставим $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ в выражение $\cos 2x$:
$\cos(2(-\frac{\pi}{4} + \pi k)) = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Так как для всех найденных значений $x$ знаменатель обращается в ноль, они не являются решениями исходного уравнения.

Ответ: решений нет.

б)

Исходное уравнение: $$ \operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2 $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
1. $\sin x \neq 0$ (для существования $\operatorname{ctg} x$). Отсюда $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \cos x \neq 0$ (знаменатель дроби). Отсюда $\cos x \neq -1$, что означает $x \neq \pi + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.
Первое условие ($\sin x \neq 0$) включает в себя второе, так как если $\sin x = 0$, то $\cos x = \pm 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, заменив $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$: $$ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} $$ $$ = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ = \frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} $$ Так как по ОДЗ $1 + \cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(1 + \cos x)$: $$ \frac{1}{\sin x} $$ Теперь исходное уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{\sin x} = 2 $$ $$ \sin x = \frac{1}{2} $$ Решения этого уравнения:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin x = \frac{1}{2} \neq 0$ и, следовательно, $\cos x = \pm\sqrt{1 - (1/2)^2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -1$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos^2 x + \cos x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы:
$\cos^2 x + \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos x + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \neq 0$. При $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\sin x$ принимает значения $1$ и $-1$, то есть $\sin x \neq 0$. Следовательно, эта серия корней является решением.
2) $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \neq 0$. При $x = \pi + 2\pi m$, $\sin x = \sin(\pi) = 0$. Это противоречит условию, поэтому данная серия корней не является решением.
Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos x $$ ОДЗ: $\cos x \neq 0$ (для существования $\operatorname{tg} x$), то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Преобразуем левую часть уравнения: $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \sin x \cos x $$ Это преобразование также можно выполнить с помощью формулы синуса двойного угла: $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \sin 2x$. Тогда левая часть равна $\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид: $$ \sin x \cos x = \cos x $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ \sin x \cos x - \cos x = 0 $$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (\sin x - 1) = 0 $$ Получаем два случая:
1) $\cos x = 0$. Эти значения $x$ не входят в ОДЗ, так как тангенс для них не определен.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$.
Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$, $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Эти значения также не входят в ОДЗ.
Поскольку все потенциальные решения исключаются областью допустимых значений, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.