Номер 23.26, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.26. a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2}; \\ \sin x \cos y = -\frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos 2y = 1, \\ 2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \cos 2y = 2. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = -\frac{1}{2} \\ uv = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$.

Подставим значения суммы и произведения:

$t^2 - (-\frac{1}{2})t + (-\frac{1}{2}) = 0$

$t^2 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} = 0$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, решения для пары $(u, v)$ — это $(-1, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -1)$. Это приводит к двум системам уравнений:

Случай 1: $ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Случай 2: $ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x$: $x = (-1)^m \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi m = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \arccos(-1) + 2\pi p = \pi + 2\pi p$, где $p \in Z$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$; $ ((-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, \pi + 2\pi p)$, где $k, n, m, p \in Z$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos 2y = 1 \\ 2\sin^2 \frac{x}{2} - 3\cos 2y = 2 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sin \frac{x}{2}$ и $b = \cos 2y$. Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} a - b = 1 \\ 2a^2 - 3b = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(1+b)^2 - 3b = 2$

$2(1 + 2b + b^2) - 3b = 2$

$2 + 4b + 2b^2 - 3b - 2 = 0$

$2b^2 + b = 0$

$b(2b+1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 0$ или $b_2 = -\frac{1}{2}$.

Найдем соответствующие значения $a$ по формуле $a = 1 + b$:

При $b_1 = 0$, $a_1 = 1 + 0 = 1$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным и решить две системы:

Случай 1: $ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} = 1 \\ \cos 2y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \pi + 4\pi k$, где $k \in Z$.

Из второго уравнения: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Случай 2: $ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \\ \cos 2y = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения: $\frac{x}{2} = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m \implies x = (-1)^m \frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Из второго уравнения: $2y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi p = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi p \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + \pi p$, где $p \in Z$.

Ответ: $(\pi + 4\pi k, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})$; $ ((-1)^m \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \pm \frac{\pi}{3} + \pi p)$, где $k, n, m, p \in Z$.