Номер 23.21, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

$4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}.$

а) Исходное уравнение: $4 \sin^2\frac{x}{2} - 3 = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$.
Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Чтобы привести его к стандартному виду, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и заменим число 3 на выражение $3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$.
$4 \sin^2\frac{x}{2} - 3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}) = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$
Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4 \sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} - 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 0$
$\sin^2\frac{x}{2} - 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} = 0$
Проверим, может ли $\cos\frac{x}{2}$ быть равен нулю. Если $\cos\frac{x}{2} = 0$, то из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2\frac{x}{2} = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0$, то есть $1 = 0$, что является ложным равенством. Следовательно, $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{2}$.
$\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{3\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 0$
$\tan^2\frac{x}{2} - 2 \tan\frac{x}{2} - 3 = 0$
Введем замену $t = \tan\frac{x}{2}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену.
1) $\tan\frac{x}{2} = 3$
$\frac{x}{2} = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\tan\frac{x}{2} = -1$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = 2\arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3 \sin^2\frac{x}{3} + 4 \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$.
Упростим левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$3 \sin^2\frac{x}{3} + 4 \cos^2\frac{x}{3} = 3 \sin^2\frac{x}{3} + 3 \cos^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3} = 3(\sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3}) + \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \cos^2\frac{x}{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$3 + \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\cos^2\frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos^2\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3} = 0$
Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{3}$ за скобки:
$\cos\frac{x}{3} \left( \cos\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \right) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.
1) $\cos\frac{x}{3} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} = 0$
$\cos\frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin\frac{x}{3}$
Заметим, что в этом случае $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, так как если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то и $\sin\frac{x}{3}$ должен быть равен 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому мы можем разделить обе части на $\cos\frac{x}{3}$:
$1 = \sqrt{3} \frac{\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}}$
$1 = \sqrt{3} \tan\frac{x}{3}$
$\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.