Номер 23.18, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.18. a) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2;$

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2;$

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3;$

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3.$

а) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$

Чтобы решить это уравнение, мы приведем его к однородному виду. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и заменим число 2 в правой части на выражение $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(5 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - 14 \sin x \cos x - (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = 0$

$3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение:

$3 \cdot 1 - 14 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 0 \implies 3 = 0$, что является ложным равенством. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{14 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 \tan^2 x - 14 \tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 5 \implies x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2$

Приведем уравнение к однородному виду, используя тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

$3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1$. Подставляя, получаем $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$

Снова используем основное тригонометрическое тождество.

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Переносим все в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 3 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверка случая $\cos x = 0$ дает $2(1) - 0 - 0 = 0$, что неверно. Делим на $\cos^2 x$:

$2 \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$

Применяем тот же метод.

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Переносим все в левую часть:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Проверка $\cos x = 0$ дает $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Делим на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.