Номер 23.16, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.16. a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0;$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0.$

a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка вида $A \sin^2(f(x)) + B \sin(f(x))\cos(f(x)) + C \cos^2(f(x)) = 0$.

Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равным нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ следует, что $\sin^2 2x = 1$. Подставив $\cos 2x = 0$ в исходное уравнение, получим:

$2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 0$

$2 \sin^2 2x = 0$, что означает $\sin 2x = 0$.

Получили противоречие, так как $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$.

$\frac{2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{5 \sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$2 \tan^2 2x - 5 \tan 2x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan 2x$. Сделаем замену $t = \tan 2x$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{2} \arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0$

Это уравнение также является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка.

Проверим, может ли $\cos 3x$ быть равным нулю. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив $\cos 3x = 0$ в уравнение, получаем:

$3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$

$3 \sin^2 3x = 0$, что означает $\sin 3x = 0$.

Это противоречит основному тригонометрическому тождеству, так как $\sin 3x$ и $\cos 3x$ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $\cos 3x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 3x$:

$\frac{3 \sin^2 3x}{\cos^2 3x} + \frac{10 \sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{3 \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$3 \tan^2 3x + 10 \tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan 3x$:

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$t_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan 3x = -3$

$3x = \arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{3} \arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 3x = -\frac{1}{3}$

$3x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3} \arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.