Номер 23.17, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.17. a) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2}$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} = 3\cos^2\frac{x}{2} $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2\frac{x}{2} $. Предварительно заметим, что $ \cos^2\frac{x}{2} \neq 0 $, так как если $ \cos^2\frac{x}{2} = 0 $, то из исходного уравнения следует, что и $ \sin^2\frac{x}{2} = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выполнив деление, получим:

$ \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 3 $

$ \tan^2\frac{x}{2} = 3 $

Из этого следует, что $ \tan\frac{x}{2} = \sqrt{3} $ или $ \tan\frac{x}{2} = -\sqrt{3} $. Можно объединить эти два случая в одно уравнение:

$ \frac{x}{2} = \pm \arctan(\sqrt{3}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 4x = \cos^2 4x $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = 0 $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, тогда $ 2\alpha = 8x $.

Уравнение принимает вид:

$ \cos(8x) = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решения для $ \cos(y) = 0 $ имеют вид $ y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Применительно к нашему уравнению:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k $

Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.