Номер 23.12, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.12. a) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0;$

B) $\sin x - 3 \cos x = 0;$

б) $\sin x + \cos x = 0;$

Г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0.$

а) Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Это действие является корректным, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно быть равными нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Разделив уравнение на $\cos x$, получаем:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. По аналогии с предыдущим пунктом, разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - 3 = 0$
$\tan x = 3$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$
$\sqrt{3} \tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.