Номер 23.7, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.7. a) $ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x = 3; $

б) $ \operatorname{ctg}^4 2x - 4 \operatorname{ctg}^2 2x + 3 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x = 3 $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$ \text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x - 3 = 0 $

Это кубическое уравнение относительно $ \text{tg} x $. Решим его методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$ (\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x) - (3 \text{tg} x + 3) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \text{tg}^2 x (\text{tg} x + 1) - 3 (\text{tg} x + 1) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\text{tg} x + 1) $ за скобки:

$ (\text{tg}^2 x - 3)(\text{tg} x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \text{tg} x + 1 = 0 \implies \text{tg} x = -1 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = \text{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \text{tg}^2 x - 3 = 0 \implies \text{tg}^2 x = 3 \implies \text{tg} x = \pm\sqrt{3} $

Это дает еще две серии корней:
- Если $ \text{tg} x = \sqrt{3} $, то $ x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
- Если $ \text{tg} x = -\sqrt{3} $, то $ x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Эти две серии можно записать в виде одной: $ x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Область определения тангенса $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \text{ctg}^4 2x - 4 \text{ctg}^2 2x + 3 = 0 $.

Данное уравнение является биквадратным относительно $ \text{ctg} 2x $. Для его решения введем новую переменную. Пусть $ y = \text{ctg}^2 2x $. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $ y \ge 0 $.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$ y^2 - 4y + 3 = 0 $

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда легко найти корни: $ y_1 = 1 $ и $ y_2 = 3 $. Оба корня удовлетворяют условию $ y \ge 0 $.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) $ \text{ctg}^2 2x = 1 \implies \text{ctg} 2x = \pm 1 $

Это уравнение распадается на два:
- $ \text{ctg} 2x = 1 \implies 2x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $.
- $ \text{ctg} 2x = -1 \implies 2x = \text{arcctg}(-1) + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $.
Эти две серии корней можно объединить в одну: $ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, откуда $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \text{ctg}^2 2x = 3 \implies \text{ctg} 2x = \pm\sqrt{3} $

Это уравнение также распадается на два:
- $ \text{ctg} 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi p = \frac{\pi}{6} + \pi p \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi p}{2} $.
- $ \text{ctg} 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi q = \frac{5\pi}{6} + \pi q \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi q}{2} $.
Эти две серии можно объединить в одну: $ 2x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi r $, откуда $ x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi r}{2} $, где $ p, q, r \in \mathbb{Z} $.

Область определения котангенса $ 2x \neq \pi k $, то есть $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Все найденные серии корней удовлетворяют этому условию.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.