Номер 23.5, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.5. a) $\text{tg } x - 2 \text{ctg } x + 1 = 0;$

б) $\frac{\text{tg } x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x};$

в) $2 \text{ctg } x - 3 \text{tg } x + 5 = 0;$

г) $\frac{7 - \text{ctg } x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}.$

а)

Решим уравнение $\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что тангенс и котангенс должны быть определены. Это значит, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Объединив эти условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся тождеством $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$ (это возможно, так как из ОДЗ следует, что $\operatorname{tg} x \neq 0$). Подставим его в исходное уравнение:

$\operatorname{tg} x - \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t - \frac{2}{t} + 1 = 0$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $t_1 = 1 \implies \operatorname{tg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -2 \implies \operatorname{tg} x = -2$

$x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба полученных семейства корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$. Подставим его в уравнение:

$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$

Введем замену $t = \operatorname{tg} x$:

$\frac{t + 5}{2} = 1 + t^2$

Умножим обе части на 2:

$t + 5 = 2(1 + t^2)$

$t + 5 = 2 + 2t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D}=5$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = \frac{3}{2} \implies \operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$

$x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -1 \implies \operatorname{tg} x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:

$\frac{2}{\operatorname{tg} x} - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$ ($t \neq 0$):

$\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0$

Умножим на $t$:

$2 - 3t^2 + 5t = 0$

Умножим на $-1$ и переставим члены для удобства:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$. $\sqrt{D}=7$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = 2 \implies \operatorname{tg} x = 2$

$x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -\frac{1}{3} \implies \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$

$x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим уравнение $\frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, следовательно, $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$.

$\frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$

Введем замену $t = \operatorname{ctg} x$:

$\frac{7 - t}{4} = 1 + t^2$

Умножим обе части на 4:

$7 - t = 4(1 + t^2)$

$7 - t = 4 + 4t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4t^2 + t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$. $\sqrt{D}=7$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = \frac{3}{4} \implies \operatorname{ctg} x = \frac{3}{4}$

$x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -1 \implies \operatorname{ctg} x = -1$

$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\operatorname{arcctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.