Номер 22.69, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.69. При каких значениях параметра $a$ решением заданного неравенства служит любое действительное число:

a) $a \cos x - 2 < 0$;

б) $(2a - 3)\sin x + 1 \ge 0$?

а)

Рассмотрим неравенство $a \cos x - 2 < 0$. Для того чтобы это неравенство выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы левая часть $a \cos x - 2$ была всегда меньше нуля. Это эквивалентно тому, что максимальное значение выражения $a \cos x - 2$ должно быть меньше нуля.

Максимальное значение выражения $a \cos x - 2$ равно $\max(a \cos x) - 2$.

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot \cos x - 2 < 0$, что упрощается до $-2 < 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если $a > 0$, то максимальное значение произведения $a \cos x$ достигается при максимальном значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это значение равно $a \cdot 1 = a$. Тогда максимальное значение всего выражения равно $a - 2$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $a - 2 < 0$, откуда $a < 2$. Учитывая условие $a > 0$, получаем $0 < a < 2$.

3. Если $a < 0$, то максимальное значение произведения $a \cos x$ достигается при минимальном значении $\cos x$, то есть при $\cos x = -1$. Это значение равно $a \cdot (-1) = -a$. Тогда максимальное значение всего выражения равно $-a - 2$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $-a - 2 < 0$, откуда $-a < 2$, что равносильно $a > -2$. Учитывая условие $a < 0$, получаем $-2 < a < 0$.

Объединяя все найденные значения из трех случаев: $a=0$, $0 < a < 2$ и $-2 < a < 0$, получаем, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$ при $a \in (-2, 2)$.

Ответ: $a \in (-2, 2)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(2a - 3) \sin x + 1 \ge 0$. Для того чтобы это неравенство выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы минимальное значение выражения $(2a - 3) \sin x + 1$ было больше или равно нулю.

Минимальное значение выражения $(2a - 3) \sin x + 1$ равно $\min((2a - 3) \sin x) + 1$.

Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Пусть $k = 2a - 3$. Рассмотрим три случая для коэффициента $k$:

1. Если $k = 0$, то есть $2a - 3 = 0$, откуда $a = 1.5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot \sin x + 1 \ge 0$, что упрощается до $1 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Следовательно, $a=1.5$ является решением.

2. Если $k > 0$ (то есть $a > 1.5$), то минимальное значение произведения $k \sin x$ достигается при минимальном значении $\sin x$, то есть при $\sin x = -1$. Это значение равно $k \cdot (-1) = -k$. Тогда минимальное значение всего выражения равно $-k + 1$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $-k + 1 \ge 0$, откуда $k \le 1$. Подставляя $k = 2a - 3$, получаем $2a - 3 \le 1 \Rightarrow 2a \le 4 \Rightarrow a \le 2$. Учитывая условие $a > 1.5$, получаем $1.5 < a \le 2$.

3. Если $k < 0$ (то есть $a < 1.5$), то минимальное значение произведения $k \sin x$ достигается при максимальном значении $\sin x$, то есть при $\sin x = 1$. Это значение равно $k \cdot 1 = k$. Тогда минимальное значение всего выражения равно $k + 1$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $k + 1 \ge 0$, откуда $k \ge -1$. Подставляя $k = 2a - 3$, получаем $2a - 3 \ge -1 \Rightarrow 2a \ge 2 \Rightarrow a \ge 1$. Учитывая условие $a < 1.5$, получаем $1 \le a < 1.5$.

Объединяя все найденные значения из трех случаев: $a=1.5$, $1.5 < a \le 2$ и $1 \le a < 1.5$, получаем, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$ при $a \in [1, 2]$.

Ответ: $a \in [1, 2]$.