Страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.62. а) $ \sin^2 x + \sin^2 3x = 0 $;

б) $ \cos^4 2x + 1 = \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

а) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю: $\sin^2 x \ge 0$ и $\sin^2 3x \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin^2 x = 0 \\ \sin^2 3x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin 3x = 0 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения $\sin x = 0$ получаем решения вида: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения $\sin 3x = 0$ получаем решения вида: $3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, откуда $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для решения исходной задачи необходимо найти общие решения для обоих уравнений, то есть найти пересечение множеств решений. Приравняем выражения для $x$:

$\pi k = \frac{\pi n}{3} \implies k = \frac{n}{3}$

Так как $k$ должно быть целым числом, то $n$ должно быть кратно 3, то есть $n$ можно представить в виде $n = 3m$, где $m$ — целое число. Подставив это в решение второго уравнения, получим $x = \frac{\pi (3m)}{3} = \pi m$.

Это и есть искомое решение, общее для обоих уравнений системы. Для единообразия записи можно использовать переменную $k$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^4 2x + 1 = \cos^2(x - \frac{\pi}{4})$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\cos^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \cos(2(x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1 + \cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$:

$\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2x)$

Таким образом, правая часть уравнения равна $\frac{1 + \sin 2x}{2}$. Подставим это в исходное уравнение:

$\cos^4 2x + 1 = \frac{1 + \sin 2x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2\cos^4 2x + 2 = 1 + \sin 2x$

$2\cos^4 2x + 1 = \sin 2x$

Оценим левую и правую части полученного уравнения.

Для левой части: так как $0 \le \cos^2 2x \le 1$, то $0 \le \cos^4 2x \le 1$. Отсюда следует, что $0 \le 2\cos^4 2x \le 2$, и $1 \le 2\cos^4 2x + 1 \le 3$. Значит, левая часть уравнения не меньше 1.

Для правой части: область значений функции синус от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$. Значит, правая часть уравнения не больше 1.

Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos^4 2x + 1 = 1 \\ \sin 2x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$2\cos^4 2x = 0 \implies \cos^4 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$

Итак, нам необходимо одновременно удовлетворить двум условиям: $\cos 2x = 0$ и $\sin 2x = 1$. Если $\sin 2x = 1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$ следует, что $1^2 + \cos^2(2x) = 1$, откуда $\cos 2x = 0$. Таким образом, достаточно решить только уравнение $\sin 2x = 1$.

Решаем уравнение $\sin 2x = 1$:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.63. a) $\sin 4x + \cos 2x = 2;$

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2.$

а) $\sin 4x + \cos 2x = 2$

Мы знаем, что область значений функций синуса и косинуса находится в промежутке от -1 до 1. То есть, для любых значений аргумента выполняются неравенства:

$-1 \le \sin 4x \le 1$

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Сумма этих двух функций может быть равна 2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое максимальное значение, равное 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 4x = 1 \\ \cos 2x = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям, то есть найти общие решения. Для этого приравняем полученные выражения для $x$:

$\pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$n = \frac{1}{8} + \frac{k}{2}$

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

$8n = 1 + 4k$

$8n - 4k = 1$

$4(2n - k) = 1$

В левой части уравнения стоит выражение, которое всегда делится на 4, так как $n$ и $k$ — целые числа. В правой части стоит 1. Поскольку 1 не делится на 4, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство ограниченности функций синуса и косинуса:

$-1 \le \sin 5x \le 1$

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Сумма этих двух функций может быть равна -2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое минимальное значение, равное -1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 5x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1) $\sin 5x = -1$

$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 3x = -1$

$3x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем общие решения, приравняв полученные выражения для $x$:

$-\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$-\frac{1}{10} + \frac{2k}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2n}{3}$

Умножим обе части на общий знаменатель, равный 30:

$30 \cdot (-\frac{1}{10}) + 30 \cdot \frac{2k}{5} = 30 \cdot \frac{1}{3} + 30 \cdot \frac{2n}{3}$

$-3 + 12k = 10 + 20n$

Перенесем слагаемые:

$12k - 20n = 13$

Вынесем общий множитель в левой части:

$4(3k - 5n) = 13$

Так как $k$ и $n$ — целые числа, то выражение в скобках $(3k - 5n)$ также является целым числом. Левая часть уравнения $4(3k - 5n)$ всегда делится на 4. Правая часть уравнения равна 13, и 13 не делится на 4. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Это означает, что у системы нет решений, а значит, и у исходного уравнения нет решений.

Ответ: нет решений.

При каких значениях параметра $a$ множество корней заданного уравнения не пусто:

22.64. а) $\sin x = 2a - 1;$

б) $\cos x = 2a^2 - 5a + 1;$

в) $\cos x = 3a - 2;$

г) $\sin x = a^2 - 3?$

а) Уравнение $\sin x = 2a - 1$ имеет корни тогда и только тогда, когда его правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это множество значений функции синус. Следовательно, необходимо решить двойное неравенство:
$-1 \le 2a - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le 2a \le 1 + 1$
$0 \le 2a \le 2$
Разделим все части неравенства на 2:
$0 \le a \le 1$
Таким образом, множество корней не пусто при $a \in [0; 1]$.
Ответ: $a \in [0; 1]$.

б) Уравнение $\cos x = 2a^2 - 5a + 1$ будет иметь корни при условии, что его правая часть находится в пределах отрезка $[-1; 1]$. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2a^2 - 5a + 1 \ge -1 \\ 2a^2 - 5a + 1 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2a^2 - 5a + 2 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$; $a_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Поскольку парабола $y = 2a^2 - 5a + 2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 0,5] \cup [2; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$2a^2 - 5a \le 0$
$a(2a - 5) \le 0$
Корни левой части $a = 0$ и $a = 2,5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in [0; 2,5]$.
Теперь найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; 0,5] \cup [2; +\infty)$ и $[0; 2,5]$.
Пересечением является множество $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.
Ответ: $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.

в) Уравнение $\cos x = 3a - 2$ имеет корни, если его правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это область значений функции косинус. Решим двойное неравенство:
$-1 \le 3a - 2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям:
$-1 + 2 \le 3a \le 1 + 2$
$1 \le 3a \le 3$
Разделим все части на 3:
$\frac{1}{3} \le a \le 1$
Следовательно, уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $a \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) Уравнение $\sin x = a^2 - 3$ имеет решения, когда правая часть принадлежит области значений функции синус, то есть отрезку $[-1; 1]$. Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 3 \ge -1 \\ a^2 - 3 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 \ge 2$
Это неравенство выполняется, когда $|a| \ge \sqrt{2}$, то есть $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 \le 4$
Это неравенство выполняется, когда $|a| \le 2$, то есть $a \in [-2; 2]$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.
Итоговое множество значений параметра $a$ есть объединение отрезков $[-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.
Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

22.65. a) $\frac{a \cos x}{2 \cos x + a} = 5;$

б) $\frac{a \sin x + 1}{2a - 3 \sin x} = 2?$

а) Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{a \cos x}{2 \cos x + a} = 5$ имеет хотя бы одно решение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2 \cos x + a \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq -\frac{a}{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить $\cos x$ через $a$.

$a \cos x = 5(2 \cos x + a)$

$a \cos x = 10 \cos x + 5a$

$a \cos x - 10 \cos x = 5a$

$\cos x (a - 10) = 5a$

Рассмотрим два случая.

1. Если $a - 10 = 0$, то есть $a = 10$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \cos x = 5 \cdot 10$, или $0 = 50$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 10$ решений нет.

2. Если $a - 10 \neq 0$, то есть $a \neq 10$. Тогда можно выразить $\cos x$:

$\cos x = \frac{5a}{a - 10}$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда полученное значение для $\cos x$ находится в области значений функции косинус, то есть в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \leq \frac{5a}{a - 10} \leq 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{5a}{a - 10} \leq 1 \\ \frac{5a}{a - 10} \geq -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{5a}{a - 10} - 1 \leq 0 \implies \frac{5a - (a - 10)}{a - 10} \leq 0 \implies \frac{4a + 10}{a - 10} \leq 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in [-\frac{10}{4}, 10)$, то есть $a \in [-2.5, 10)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{5a}{a - 10} + 1 \geq 0 \implies \frac{5a + (a - 10)}{a - 10} \geq 0 \implies \frac{6a - 10}{a - 10} \geq 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, \frac{10}{6}] \cup (10, +\infty)$, то есть $a \in (-\infty, \frac{5}{3}] \cup (10, +\infty)$.

Пересечением решений обоих неравенств является отрезок $a \in [-2.5, \frac{5}{3}]$.

Теперь необходимо проверить выполнение условия ОДЗ: $\cos x \neq -\frac{a}{2}$. Подставим найденное выражение для $\cos x$:

$\frac{5a}{a - 10} \neq -\frac{a}{2}$

$10a \neq -a(a - 10)$

$10a \neq -a^2 + 10a$

$a^2 \neq 0 \implies a \neq 0$

Таким образом, значение $a=0$ необходимо исключить из найденного интервала $a \in [-2.5, \frac{5}{3}]$.

Ответ: $a \in [-2.5, 0) \cup (0, \frac{5}{3}]$

б) Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{a \sin x + 1}{2a - 3 \sin x} = 2$ имеет хотя бы одно решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$2a - 3 \sin x \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq \frac{2a}{3}$.

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить $\sin x$ через $a$.

$a \sin x + 1 = 2(2a - 3 \sin x)$

$a \sin x + 1 = 4a - 6 \sin x$

$a \sin x + 6 \sin x = 4a - 1$

$\sin x (a + 6) = 4a - 1$

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sin x = 4(-6) - 1$, или $0 = -25$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = -6$ решений нет.

2. Если $a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$. Тогда можно выразить $\sin x$:

$\sin x = \frac{4a - 1}{a + 6}$

Уравнение имеет решение, если полученное значение для $\sin x$ находится в области значений функции синус, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

$-1 \leq \frac{4a - 1}{a + 6} \leq 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{4a - 1}{a + 6} \leq 1 \\ \frac{4a - 1}{a + 6} \geq -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{4a - 1}{a + 6} - 1 \leq 0 \implies \frac{4a - 1 - (a + 6)}{a + 6} \leq 0 \implies \frac{3a - 7}{a + 6} \leq 0$

Методом интервалов получаем решение $a \in (-6, \frac{7}{3}]$.

Решим второе неравенство:

$\frac{4a - 1}{a + 6} + 1 \geq 0 \implies \frac{4a - 1 + a + 6}{a + 6} \geq 0 \implies \frac{5a + 5}{a + 6} \geq 0$

Методом интервалов получаем решение $a \in (-\infty, -6) \cup [-1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in (-6, \frac{7}{3}] \cap ((-\infty, -6) \cup [-1, +\infty))$. Пересечением является отрезок $a \in [-1, \frac{7}{3}]$.

Проверим условие ОДЗ: $\sin x \neq \frac{2a}{3}$. Подставим найденное выражение для $\sin x$:

$\frac{4a - 1}{a + 6} \neq \frac{2a}{3}$

$3(4a - 1) \neq 2a(a + 6)$

$12a - 3 \neq 2a^2 + 12a$

$-3 \neq 2a^2 \implies a^2 \neq -\frac{3}{2}$

Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, никаких значений $a$ из найденного отрезка исключать не нужно.

Ответ: $a \in [-1, \frac{7}{3}]$

22.66. Решите уравнение с параметром a:

a) $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{a - 1}{a + 1};$

б) $\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2a - 1}{a - 2}.$

а) $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{a - 1}{a + 1}$

Данное уравнение имеет решения, только если его правая часть по модулю не превосходит 1, так как область значений функции синус – отрезок $[-1, 1]$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $a \ne -1$.

Запишем соответствующее условие для параметра a в виде системы неравенств:

$-1 \le \frac{a-1}{a+1} \le 1 \quad \iff \quad \begin{cases} \frac{a-1}{a+1} \le 1 \\ \frac{a-1}{a+1} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{a-1}{a+1} - 1 \le 0 \implies \frac{a-1 - (a+1)}{a+1} \le 0 \implies \frac{-2}{a+1} \le 0$

Так как числитель -2 отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен: $a+1 > 0 \implies a > -1$.

Решим второе неравенство:

$\frac{a-1}{a+1} + 1 \ge 0 \implies \frac{a-1 + a+1}{a+1} \ge 0 \implies \frac{2a}{a+1} \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $a \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$.

Пересекая решения обоих неравенств ($a > -1$ и $a \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$), находим общее условие, при котором исходное уравнение имеет корни: $a \ge 0$.

Если $a < 0$, уравнение решений не имеет.

Теперь решим уравнение при $a \ge 0$:

$2x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \arcsin\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: при $a \ge 0$ решения $x = \frac{\pi}{6} + \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{a-1}{a+1}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; при $a < 0$ решений нет.

б) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2a - 1}{a - 2}$

Уравнение имеет решения, если его правая часть принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Также знаменатель не должен равняться нулю, то есть $a \neq 2$.

Составим систему неравенств для параметра a:

$-1 \le \frac{2a-1}{a-2} \le 1 \quad \iff \quad \begin{cases} \frac{2a-1}{a-2} \le 1 \\ \frac{2a-1}{a-2} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{2a-1}{a-2} - 1 \le 0 \implies \frac{2a-1 - (a-2)}{a-2} \le 0 \implies \frac{a+1}{a-2} \le 0$

Методом интервалов получаем решение: $a \in [-1, 2)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2a-1}{a-2} + 1 \ge 0 \implies \frac{2a-1 + a-2}{a-2} \ge 0 \implies \frac{3a-3}{a-2} \ge 0 \implies \frac{a-1}{a-2} \ge 0$

Методом интервалов получаем решение: $a \in (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух систем неравенств: $a \in [-1, 2) \cap ((-\infty, 1] \cup (2, +\infty))$. Пересечением является отрезок $a \in [-1, 1]$.

Таким образом, уравнение имеет решения только при $a \in [-1, 1]$. При других значениях a решений нет.

Решим уравнение при $a \in [-1, 1]$:

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{2a - 1}{a - 2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{2a - 1}{a - 2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} \pm 2\arccos\left(\frac{2a - 1}{a - 2}\right) + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: при $a \in [-1, 1]$ решения $x = -\frac{\pi}{2} \pm 2\arccos\left(\frac{2a-1}{a-2}\right) + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$; при $a \notin [-1, 1]$ решений нет.

22.67. Решите уравнение:

a) $ctg\left(\frac{\pi}{3} \cos 2\pi x\right) = \sqrt{3};$

б) $sin\left(2\pi \cos x\right) = \frac{1}{2}.$

а) Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{3} \cos(2\pi x)) = \sqrt{3}$.
Введем замену $t = \frac{\pi}{3} \cos(2\pi x)$. Уравнение примет вид $ctg(t) = \sqrt{3}$.
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $t = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Так как $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, получаем $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выполним обратную замену:
$\frac{\pi}{3} \cos(2\pi x) = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы выразить $\cos(2\pi x)$, разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(2\pi x) = \frac{\frac{\pi}{6} + \pi n}{\frac{\pi}{3}} = (\frac{\pi}{6} + \pi n) \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{1}{2} + 3n$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le \frac{1}{2} + 3n \le 1$.
Решим это неравенство относительно $n$:
$-1 - \frac{1}{2} \le 3n \le 1 - \frac{1}{2}$
$-\frac{3}{2} \le 3n \le \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{6}$.
Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому условию, — это $n=0$.
Подставим $n=0$ в уравнение для косинуса: $\cos(2\pi x) = \frac{1}{2}$.
Решим полученное уравнение. Общее решение имеет вид $2\pi x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Поскольку $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем $2\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив обе части на $2\pi$, найдем $x$:
$x = \pm \frac{1}{6} + k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{6} + k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $sin(2\pi \cos x) = \frac{1}{2}$.
Решение уравнения $sin(t) = \frac{1}{2}$ можно представить в виде двух серий:
1) $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
2) $t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Выполним обратную подстановку $t = 2\pi \cos x$ и рассмотрим оба случая.
Случай 1. $2\pi \cos x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Разделим обе части на $2\pi$: $\cos x = \frac{1}{12} + k$.
Учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$, получаем неравенство $-1 \le \frac{1}{12} + k \le 1$, откуда $-\frac{13}{12} \le k \le \frac{11}{12}$.
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=-1$.
При $k=0$ имеем $\cos x = \frac{1}{12}$, откуда $x = \pm arccos(\frac{1}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
При $k=-1$ имеем $\cos x = \frac{1}{12} - 1 = -\frac{11}{12}$, откуда $x = \pm arccos(-\frac{11}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
Случай 2. $2\pi \cos x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Разделим обе части на $2\pi$: $\cos x = \frac{5}{12} + k$.
Учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$, получаем неравенство $-1 \le \frac{5}{12} + k \le 1$, откуда $-\frac{17}{12} \le k \le \frac{7}{12}$.
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=-1$.
При $k=0$ имеем $\cos x = \frac{5}{12}$, откуда $x = \pm arccos(\frac{5}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
При $k=-1$ имеем $\cos x = \frac{5}{12} - 1 = -\frac{7}{12}$, откуда $x = \pm arccos(-\frac{7}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(-\frac{11}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(\frac{5}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(-\frac{7}{12}) + 2\pi m$, где $m \in Z$.

22.68. Решите неравенство:

а) $ \sin x \sqrt{4 - x^2} \le 0 $;

б) $ \cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0 $.

а) $\sin x \sqrt{4 - x^2} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$4 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 4$

$-2 \le x \le 2$

ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим неравенство на найденной ОДЗ. Множитель $\sqrt{4 - x^2}$ всегда неотрицателен. Произведение $\sin x \sqrt{4 - x^2}$ будет неположительным в следующих случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю.

• $\sqrt{4 - x^2} = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$. Эти значения входят в ОДЗ и являются решениями, так как неравенство принимает вид $0 \le 0$.
• $\sin x = 0 \implies x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В ОДЗ $x \in [-2, 2]$ попадает только значение $x=0$ (при $k=0$). Это также является решением.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля. Так как $\sqrt{4 - x^2} > 0$ при $x \in (-2, 2)$, для выполнения неравенства $\sin x \sqrt{4 - x^2} < 0$ необходимо, чтобы $\sin x < 0$. Решим систему:

$\begin{cases} \sin x < 0 \\ x \in (-2, 2) \end{cases}$

Неравенство $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем интервал $(-\pi, 0)$, что примерно равно $(-3.14, 0)$. Пересечение этого интервала с интервалом $(-2, 2)$ дает $(-2, 0)$.

3. Объединим все найденные решения. Из первого случая получили точки $x=-2, x=0, x=2$. Из второго случая получили интервал $(-2, 0)$. Объединив эти множества, получаем: $\{-2, 0, 2\} \cup (-2, 0) = [-2, 0] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-2, 0] \cup \{2\}$.

б) $\cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 2 - x^2 \ge 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Корнями уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Поскольку ветви параболы $y=x^2-x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями.

ОДЗ: $x \in [-1, 2]$.

2. Решим неравенство. Неравенство $\cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0$ выполняется в следующих случаях:

Случай 1: $\sqrt{x + 2 - x^2} = 0$. Это происходит при $x = -1$ и $x = 2$. В этих точках все выражение равно нулю, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x=-1$ и $x=2$ являются решениями.

Случай 2: $\sqrt{x + 2 - x^2} > 0$ и $\cos x \ge 0$. Первое условие, $\sqrt{x + 2 - x^2} > 0$, выполняется при $x \in (-1, 2)$. Второе условие, $\cos x \ge 0$, выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-1, 2)$ и решения $\cos x \ge 0$. При $k=0$ получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Пересечение интервала $(-1, 2)$ с отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ дает полуинтервал $(-1, \frac{\pi}{2}]$.

3. Объединим решения из обоих случаев. Решения из первого случая: $\{-1, 2\}$. Решение из второго случая: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}]$. Объединяя эти множества, получаем: $\{-1, 2\} \cup (-1, \frac{\pi}{2}] = [-1, \frac{\pi}{2}] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{\pi}{2}] \cup \{2\}$.

22.69. При каких значениях параметра $a$ решением заданного неравенства служит любое действительное число:

a) $a \cos x - 2 < 0$;

б) $(2a - 3)\sin x + 1 \ge 0$?

а)

Рассмотрим неравенство $a \cos x - 2 < 0$. Для того чтобы это неравенство выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы левая часть $a \cos x - 2$ была всегда меньше нуля. Это эквивалентно тому, что максимальное значение выражения $a \cos x - 2$ должно быть меньше нуля.

Максимальное значение выражения $a \cos x - 2$ равно $\max(a \cos x) - 2$.

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot \cos x - 2 < 0$, что упрощается до $-2 < 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если $a > 0$, то максимальное значение произведения $a \cos x$ достигается при максимальном значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это значение равно $a \cdot 1 = a$. Тогда максимальное значение всего выражения равно $a - 2$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $a - 2 < 0$, откуда $a < 2$. Учитывая условие $a > 0$, получаем $0 < a < 2$.

3. Если $a < 0$, то максимальное значение произведения $a \cos x$ достигается при минимальном значении $\cos x$, то есть при $\cos x = -1$. Это значение равно $a \cdot (-1) = -a$. Тогда максимальное значение всего выражения равно $-a - 2$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $-a - 2 < 0$, откуда $-a < 2$, что равносильно $a > -2$. Учитывая условие $a < 0$, получаем $-2 < a < 0$.

Объединяя все найденные значения из трех случаев: $a=0$, $0 < a < 2$ и $-2 < a < 0$, получаем, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$ при $a \in (-2, 2)$.

Ответ: $a \in (-2, 2)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(2a - 3) \sin x + 1 \ge 0$. Для того чтобы это неравенство выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы минимальное значение выражения $(2a - 3) \sin x + 1$ было больше или равно нулю.

Минимальное значение выражения $(2a - 3) \sin x + 1$ равно $\min((2a - 3) \sin x) + 1$.

Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Пусть $k = 2a - 3$. Рассмотрим три случая для коэффициента $k$:

1. Если $k = 0$, то есть $2a - 3 = 0$, откуда $a = 1.5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot \sin x + 1 \ge 0$, что упрощается до $1 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Следовательно, $a=1.5$ является решением.

2. Если $k > 0$ (то есть $a > 1.5$), то минимальное значение произведения $k \sin x$ достигается при минимальном значении $\sin x$, то есть при $\sin x = -1$. Это значение равно $k \cdot (-1) = -k$. Тогда минимальное значение всего выражения равно $-k + 1$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $-k + 1 \ge 0$, откуда $k \le 1$. Подставляя $k = 2a - 3$, получаем $2a - 3 \le 1 \Rightarrow 2a \le 4 \Rightarrow a \le 2$. Учитывая условие $a > 1.5$, получаем $1.5 < a \le 2$.

3. Если $k < 0$ (то есть $a < 1.5$), то минимальное значение произведения $k \sin x$ достигается при максимальном значении $\sin x$, то есть при $\sin x = 1$. Это значение равно $k \cdot 1 = k$. Тогда минимальное значение всего выражения равно $k + 1$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, нужно, чтобы $k + 1 \ge 0$, откуда $k \ge -1$. Подставляя $k = 2a - 3$, получаем $2a - 3 \ge -1 \Rightarrow 2a \ge 2 \Rightarrow a \ge 1$. Учитывая условие $a < 1.5$, получаем $1 \le a < 1.5$.

Объединяя все найденные значения из трех случаев: $a=1.5$, $1.5 < a \le 2$ и $1 \le a < 1.5$, получаем, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$ при $a \in [1, 2]$.

Ответ: $a \in [1, 2]$.

23.1. Решите уравнение:

a) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0;$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0;$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0.$

а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса от -1 до 1, имеем ограничение $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 3}$

$t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $t_1 = 2$. Получаем уравнение $\sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $2 \notin [-1, 1]$.

2. $t_2 = -\frac{1}{3}$. Получаем уравнение $\sin x = -\frac{1}{3}$. Это уравнение имеет решения, так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$.

Общее решение уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можно записать ответ в виде:

$x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin 2x$. Сделаем замену $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{2 \cdot 3}$

$t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Выполним обратную замену.

1. $t_2 = -3$. Уравнение $\sin 2x = -3$ не имеет решений, так как $-3 \notin [-1, 1]$.

2. $t_1 = -\frac{1}{3}$. Уравнение $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ имеет решения.

$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 11t - 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

$t_{1,2} = \frac{-11 \pm 13}{2 \cdot 4}$

$t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3$

Выполним обратную замену.

1. $t_2 = -3$. Уравнение $\sin x = -3$ не имеет решений.

2. $t_1 = \frac{1}{4}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$ имеет решения.

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Введем замену $t = \sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$

$t_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2 \cdot 2}$

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=1$ и $t_2=1/2$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Рассмотрим оба случая.

1. $\sin \frac{x}{2} = 1$.

Это частный случай, решение которого имеет вид: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.