Номер 22.68, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.68. Решите неравенство:

а) $ \sin x \sqrt{4 - x^2} \le 0 $;

б) $ \cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0 $.

а) $\sin x \sqrt{4 - x^2} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$4 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 4$

$-2 \le x \le 2$

ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим неравенство на найденной ОДЗ. Множитель $\sqrt{4 - x^2}$ всегда неотрицателен. Произведение $\sin x \sqrt{4 - x^2}$ будет неположительным в следующих случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю.

• $\sqrt{4 - x^2} = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$. Эти значения входят в ОДЗ и являются решениями, так как неравенство принимает вид $0 \le 0$.
• $\sin x = 0 \implies x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В ОДЗ $x \in [-2, 2]$ попадает только значение $x=0$ (при $k=0$). Это также является решением.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля. Так как $\sqrt{4 - x^2} > 0$ при $x \in (-2, 2)$, для выполнения неравенства $\sin x \sqrt{4 - x^2} < 0$ необходимо, чтобы $\sin x < 0$. Решим систему:

$\begin{cases} \sin x < 0 \\ x \in (-2, 2) \end{cases}$

Неравенство $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем интервал $(-\pi, 0)$, что примерно равно $(-3.14, 0)$. Пересечение этого интервала с интервалом $(-2, 2)$ дает $(-2, 0)$.

3. Объединим все найденные решения. Из первого случая получили точки $x=-2, x=0, x=2$. Из второго случая получили интервал $(-2, 0)$. Объединив эти множества, получаем: $\{-2, 0, 2\} \cup (-2, 0) = [-2, 0] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-2, 0] \cup \{2\}$.

б) $\cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 2 - x^2 \ge 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Корнями уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Поскольку ветви параболы $y=x^2-x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями.

ОДЗ: $x \in [-1, 2]$.

2. Решим неравенство. Неравенство $\cos x \sqrt{x + 2 - x^2} \ge 0$ выполняется в следующих случаях:

Случай 1: $\sqrt{x + 2 - x^2} = 0$. Это происходит при $x = -1$ и $x = 2$. В этих точках все выражение равно нулю, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x=-1$ и $x=2$ являются решениями.

Случай 2: $\sqrt{x + 2 - x^2} > 0$ и $\cos x \ge 0$. Первое условие, $\sqrt{x + 2 - x^2} > 0$, выполняется при $x \in (-1, 2)$. Второе условие, $\cos x \ge 0$, выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-1, 2)$ и решения $\cos x \ge 0$. При $k=0$ получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Пересечение интервала $(-1, 2)$ с отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ дает полуинтервал $(-1, \frac{\pi}{2}]$.

3. Объединим решения из обоих случаев. Решения из первого случая: $\{-1, 2\}$. Решение из второго случая: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}]$. Объединяя эти множества, получаем: $\{-1, 2\} \cup (-1, \frac{\pi}{2}] = [-1, \frac{\pi}{2}] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{\pi}{2}] \cup \{2\}$.