Номер 23.6, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.6. a) $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0; $

б) $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0. $

а) $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0 $

Данное уравнение является квадратным относительно $ \sin x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $, при этом по определению синуса $ |t| \le 1 $.

Уравнение принимает вид:

$ t^2 - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}t - 3\sqrt{2} = 0 $

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:

$ 2t^2 - (12 - \sqrt{2})t - 6\sqrt{2} = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ t $, используя формулу корней. Найдем дискриминант $ D $:

$ D = b^2 - 4ac = (-(12 - \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6\sqrt{2}) = (12 - \sqrt{2})^2 + 48\sqrt{2} $

$ D = (12^2 - 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 48\sqrt{2} = (144 - 24\sqrt{2} + 2) + 48\sqrt{2} = 146 + 24\sqrt{2} $

Чтобы найти корень из дискриминанта, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$ 146 + 24\sqrt{2} = 144 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + 2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (12 + \sqrt{2})^2 $

Тогда $ \sqrt{D} = \sqrt{(12 + \sqrt{2})^2} = 12 + \sqrt{2} $.

Найдем корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{(12 - \sqrt{2}) + (12 + \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 $

$ t_2 = \frac{(12 - \sqrt{2}) - (12 + \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{12 - \sqrt{2} - 12 - \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь выполним обратную замену $ t = \sin x $.

1) $ \sin x = t_1 = 6 $. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, а $ 6 > 1 $.

2) $ \sin x = t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$ x = (-1)^{k} \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k = (-1)^{k} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0 $

Это уравнение является квадратным относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \cos x $, где $ |y| \le 1 $.

Уравнение примет вид:

$ y^2 - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}y - 2\sqrt{3} = 0 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 2y^2 - (8 - \sqrt{3})y - 4\sqrt{3} = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $ D $:

$ D = b^2 - 4ac = (-(8 - \sqrt{3}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4\sqrt{3}) = (8 - \sqrt{3})^2 + 32\sqrt{3} $

$ D = (8^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) + 32\sqrt{3} = (64 - 16\sqrt{3} + 3) + 32\sqrt{3} = 67 + 16\sqrt{3} $

Представим дискриминант в виде полного квадрата:

$ 67 + 16\sqrt{3} = 64 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + 3 = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (8 + \sqrt{3})^2 $

Тогда $ \sqrt{D} = \sqrt{(8 + \sqrt{3})^2} = 8 + \sqrt{3} $.

Найдем корни уравнения для $ y $:

$ y_1 = \frac{(8 - \sqrt{3}) + (8 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $

$ y_2 = \frac{(8 - \sqrt{3}) - (8 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{8 - \sqrt{3} - 8 - \sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Выполним обратную замену $ y = \cos x $.

1) $ \cos x = y_1 = 4 $. Уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1; 1] $, а $ 4 > 1 $.

2) $ \cos x = y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Решения этого уравнения находим по формуле:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство арккосинуса $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, получаем:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Следовательно, $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.