Номер 23.10, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.10. a) $ \text{tg } x \sin 2x = 0; $

Б) $ (1 + \cos x) \left(\frac{1}{\sin x} - 1\right) = 0; $

В) $ \cos x \text{ tg } 3x = 0; $

Г) $ (1 + \cos x) \text{ tg } \frac{x}{2} = 0. $

а) $tg x \sin 2x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \ne 0$, что эквивалентно $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Рассмотрим два случая:

1. $tg x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \pi n, n \in Z$. Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ. $\cos(\pi n) = (-1)^n \ne 0$. Все решения подходят.

2. $\sin 2x = 0$. Решения этого уравнения: $2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Мы должны исключить значения, при которых $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Серия $x = \frac{\pi m}{2}$ содержит значения, при которых $m$ нечетное (например, $m=1, x=\frac{\pi}{2}$; $m=3, x=\frac{3\pi}{2}$), которые не входят в ОДЗ. Следовательно, из этой серии подходят только те решения, где $m$ — четное число. Пусть $m = 2n$, тогда $x = \frac{\pi(2n)}{2} = \pi n, n \in Z$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что они дают одну и ту же серию корней.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

б) $(1 + \cos x)(\frac{1}{\sin x} - 1) = 0$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. При $x = \pi + 2\pi n$, значение $\sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, они являются посторонними.

2. $\frac{1}{\sin x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, значение $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1 \ne 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$.

в) $\cos x \ tg 3x = 0$

ОДЗ: $\cos 3x \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$: $\cos(3(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi n)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} + 3\pi n$ всегда является нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$, поэтому косинус от этого аргумента всегда равен 0. Следовательно, все корни этой серии не входят в ОДЗ и являются посторонними.

2. $tg 3x = 0$. Решения: $3x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$: $\cos(3(\frac{\pi m}{3})) = \cos(\pi m) = (-1)^m$. Так как $(-1)^m \ne 0$, все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{3}, m \in Z$.

г) $(1 + \cos x) \ tg \frac{x}{2} = 0$

ОДЗ: $\cos \frac{x}{2} \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$. Сравнивая эти корни с ОДЗ, мы видим, что они в точности совпадают со значениями, которые исключены из области определения ($x \ne \pi + 2\pi k$). Следовательно, все корни этой серии являются посторонними.

2. $tg \frac{x}{2} = 0$. Решения: $\frac{x}{2} = \pi m \implies x = 2\pi m, m \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = 2\pi m$, значение $\cos(\frac{2\pi m}{2}) = \cos(\pi m) = (-1)^m \ne 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi m, m \in Z$.