Номер 23.11, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.11. a) $sin x = -\frac{3}{4} cos x$;

б) $3 sin x = 2 cos x$;

в) $2 sin x + 5 cos x = 0$;

г) $sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$.

а)

Дано уравнение $\sin x = -\frac{3}{4}\cos x$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в одну часть:

$\sin x + \frac{3}{4}\cos x = 0$

Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставим в уравнение:

$\pm 1 + \frac{3}{4} \cdot 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $\pm 1 = 0$.

Следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{3}{4}\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + \frac{3}{4} = 0$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\frac{3}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $3 \sin x = 2 \cos x$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в одну часть:

$3 \sin x - 2 \cos x = 0$

Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляя в уравнение, получаем:

$3(\pm 1) - 2 \cdot 0 = 0$, что дает неверное равенство $\pm 3 = 0$.

Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$3\frac{\sin x}{\cos x} - 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$3 \tan x - 2 = 0$

$3 \tan x = 2$

$\tan x = \frac{2}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{2}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $2 \sin x + 5 \cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущих случаях, проверим, может ли $\cos x$ равняться нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$.

$2(\pm 1) + 5 \cdot 0 = 0$, что дает неверное равенство $\pm 2 = 0$.

Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 5\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$2 \tan x + 5 = 0$

$2 \tan x = -5$

$\tan x = -\frac{5}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Или, используя свойство нечетности арктангенса:

$x = -\arctan(\frac{5}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sin x - 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - 3 \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. В этом случае $\cos x \neq 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен был бы быть равен 0, что невозможно. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x - 3 = 0$

$\tan x = 3$

Решения этого уравнения:

$x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.