Номер 23.15, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.15. a) $\sin 2x = \cos 2x$;

В) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$;

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$;

Г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$.

а) $\sin 2x = \cos 2x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$. Это можно сделать, так как если $\cos 2x = 0$, то из исходного уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$. Однако, из основного тригонометрического тождества $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ следует, что синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1$

$\tan 2x = 1$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 3x$. По аналогии с предыдущим пунктом, $\cos 3x \neq 0$, так как в противном случае и $\sin 3x$ должен быть равен нулю, что невозможно.

$\sqrt{3} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 1$

$\sqrt{3} \tan 3x = 1$

$\tan 3x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$3x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\cos \frac{x}{2}$. Мы можем это сделать, так как если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то и $\sin \frac{x}{2} = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

$\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \sqrt{3}$

$\tan \frac{x}{2} = \sqrt{3}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 17x$. Мы можем это сделать, так как если $\cos 17x = 0$, то из уравнения следует $\sqrt{2} \sin 17x = 0$, что означает $\sin 17x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 17x + \cos^2 17x = 1$.

$\sqrt{2} \frac{\sin 17x}{\cos 17x} = \sqrt{6}$

$\sqrt{2} \tan 17x = \sqrt{6}$

$\tan 17x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$17x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$17x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 17, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.