Номер 23.20, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.20. a) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x;$

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x.$

а) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка. Для его решения представим число -2 с помощью основного тригонометрического тождества:

$-2 = -2 \cdot 1 = -2(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \sin^2 2x - 2(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = \sin 2x \cos 2x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 \sin^2 2x - 2 \sin^2 2x - 2 \cos^2 2x = \sin 2x \cos 2x$

$\sin^2 2x - 2 \cos^2 2x = \sin 2x \cos 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 2x - \sin 2x \cos 2x - 2 \cos^2 2x = 0$

Рассмотрим случай, когда $\cos 2x = 0$. Тогда из уравнения следует, что $\sin^2 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Однако $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x - \tan 2x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\tan 2x = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4 = 0$

Представим число -4 с помощью основного тригонометрического тождества:

$-4 = -4 \cdot 1 = -4(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4(\sin^2 4x + \cos^2 4x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4 \sin^2 4x - 4 \cos^2 4x = 0$

$-2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin 4x$ за скобки:

$-\sin 4x (2 \sin 4x + 3 \cos 4x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin 4x + 3 \cos 4x = 0$

Это однородное уравнение первого порядка. Как и в пункте а), $\cos 4x \neq 0$, так как если $\cos 4x = 0$, то и $\sin 4x = 0$, что невозможно. Разделим обе части уравнения на $\cos 4x$:

$2 \frac{\sin 4x}{\cos 4x} + 3 \frac{\cos 4x}{\cos 4x} = 0$

$2 \tan 4x + 3 = 0$

$\tan 4x = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:

$4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.