Номер 23.19, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.19. a) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5;$

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4.$

Исходное уравнение: $5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5$.

Данный тип уравнений называется однородным тригонометрическим уравнением. Для его решения представим число 5 в правой части, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые, перенеся все в левую часть.

$5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x - 5\sin^2 x - 5\cos^2 x = 0$

$\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки.

$\cos x (\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$

Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю в этом уравнении. Если $\cos x = 0$, то $\sqrt{3}\sin x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 4$.

По аналогии с предыдущим пунктом, заменим число 4 в правой части на $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть.

$2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$-2\sin^2 x - 3\sin x \cos x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства.

$2\sin^2 x + 3\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки.

$\sin x (2\sin x + 3\cos x) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x + 3\cos x = 0$

В этом уравнении $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно). Разделим обе части на $\cos x$.

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$2\tan x + 3 = 0$

$\tan x = -\frac{3}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.