Номер 23.13, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.13. a) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0;$

б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x;$

г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x.$

а) $ \sin^2 x + \sin x \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin x + \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $ \sin x = 0 $
Это частный случай, решениями которого являются $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + \cos x = 0 $
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $, предполагая, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ не выполняется. Поэтому деление на $ \cos x $ является корректным.
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + 1 = 0 $
$ \tan x = -1 $
$ x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \cos x = 0 $
Решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ (так как $ \cos x = 0 $ не является решением этого уравнения, что было показано в пункте а):
$ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = -1 $
$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k = -\frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2 x = 3 \sin x \cos x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \sin x = 0 $
Решениями являются $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x - 3 \cos x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ (как и ранее, $ \cos x \neq 0 $):
$ \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = 0 $
$ \tan x = 3 $
$ x = \arctan(3) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \pi n, \quad x = \arctan(3) + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sqrt{3} \cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \cos x = 0 $
Решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ ($ \cos x \neq 0 $):
$ \sqrt{3} - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x = \sqrt{3} $
$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.