Номер 23.14, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.14. a) $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0;$

г) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0.$

а) $ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка. Чтобы его решить, рассмотрим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$ 1 + 2 \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 0 $

$ 1 = 0 $

Получили неверное равенство, значит, $ \cos x \neq 0 $. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

Используя тождество $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0 $

Введем замену $ t = \tan x $. Уравнение примет вид квадратного:

$ t^2 + 2t - 3 = 0 $

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -3 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = -3 $. Отсюда $ x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $, поэтому разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = 3 $. Отсюда $ x = \arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = \arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Так как $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -2 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = -2 $. Отсюда $ x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\arctan(2) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

г) $ 3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Так как $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 3 \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ 3t^2 + t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $

$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $

$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = -1 $. Отсюда $ x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = \frac{2}{3} $. Отсюда $ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.