Номер 23.9, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.9. a) $\left( \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \right) (\cos 2x + 1) = 0;$

б) $\left( \cos^2 \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \frac{3}{4} \right) \sin \frac{x}{2} = 0.$

a) Исходное уравнение: $(\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2})(\cos 2x + 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 0$

2) $\cos 2x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2(x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = 0$

Применим формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$\sin(2x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$\cos 2x = -1$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь объединим найденные решения. Вторая серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi(1+2n)}{2}$ представляет собой нечетные кратные $\frac{\pi}{2}$. Первая серия $x = \frac{\pi k}{2}$ включает в себя все целые кратные $\frac{\pi}{2}$ (как четные, так и нечетные). Следовательно, вторая серия является подмножеством первой.

Таким образом, общее решение исходного уравнения совпадает с решением первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $(\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) - \frac{3}{4})\sin\frac{x}{2} = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение равносильно совокупности:

1) $\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) - \frac{3}{4} = 0$

2) $\sin\frac{x}{2} = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2(2x + \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{3}{4}$

$1 + \cos(4x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$

$\cos(4x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$4x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

- $4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$.

- $4x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 4x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$.

Решим второе уравнение:

$\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединим все решения. Серия корней $x = 2\pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (получается при $k=4n$). Значит, решения второго уравнения уже содержатся в решениях первого.

Итоговое решение является объединением двух серий, полученных из первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.