Номер 23.4, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.4. a) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 1 = 0$;

б) $\text{ctg}^2 2x - 6 \text{ctg} 2x + 5 = 0$;

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x - 2 = 0$;

г) $7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} = 5$.

а) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 1 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{tg} x$.
Тогда уравнение примет вид:
$3y^2 + 2y - 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\text{tg} x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = \frac{1}{3}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{ctg}^2 2x - 6 \text{ctg} 2x + 5 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\text{ctg} 2x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{ctg} 2x$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 6y + 5 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{ctg} 2x = 1$
$2x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} 2x = 5$
$2x = \text{arcctg}(5) + \pi k$.
$x = \frac{1}{2}\text{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\text{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{tg} x$.
$2y^2 + 3y - 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{tg} x = -2$
$x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} = 5$
Перенесем 5 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} - 5 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{ctg} \frac{x}{2}$.
$7y^2 + 2y - 5 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 - 12}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{ctg} \frac{x}{2} = -1$
$\frac{x}{2} = \text{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}$
$\frac{x}{2} = \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + \pi k$.
$x = 2 \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 2 \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.